Как сосчитать периметр геометрической фигуры. Что такое периметр

В следующих тестовых заданиях требуется найти периметр фигуры, изображенной на рисунке.

Найти периметр фигуры можно разными способами. Можно преобразовать исходную фигуру таким образом, чтобы периметр новой фигуры можно было бы легко вычислить (например, перейти к прямоугольнику).

Другой вариант решения — искать периметр фигуры непосредственно (как сумму длин всех её сторон). Но в этом случае нельзя полагаться только на рисунок, а находить длины отрезков, исходя из данных задачи.

Хочу предупредить: в одном из заданий среди предложенных вариантов ответов я не нашла того, который получился у меня.

C) .

Перенесем стороны маленьких прямоугольников с внутренней области во внешнюю. В результате большой прямоугольник замкнулся. Формула для нахождения периметра прямоугольника

В данном случае, a=9a, b=3a+a=4a. Таким образом, P=2(9a+4a)=26a. К периметру большого прямоугольника прибавляем сумму длин четырех отрезков, каждый из которых равен 3a. В итоге, P=26a+4∙3a=38a .

C) .

После переноса внутренних сторон маленьких прямоугольников во внешнюю область, получаем большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(10x+6x)=32x, и четыре отрезка, два — диной по x, два — по 2x.

Итого, P=32x+2∙2x+2∙x=38x .

?) .

Перенесем 6 горизонтальных «ступенек» из внутренней части во внешнюю. Периметр полученного большого прямоугольника равен P=2(6y+8y)=28y. Осталось найти сумму длин отрезков внутри прямоугольника 4y+6∙y=10y. Таким образом, периметр фигуры равен P=28y+10y=38y .

D) .

Перенесем вертикальные отрезки из внутренней области фигуры влево, во внешнюю область. Чтобы получить большой прямоугольник, перенесём одни из отрезков длиной 4x в нижний левый угол.

Периметр исходной фигуры найдём как сумму периметра этого большого прямоугольника и длин оставшихся внутри трёх отрезков P=2(10x+8x)+6x+4x+2x=48x .

E) .

Перенеся внутренние стороны маленьких прямоугольников во внешнюю область, получим большой квадрат. Его периметр равен P=4∙10x=40x. Чтобы получить периметр исходной фигуры, нужно у периметру квадрата прибавить сумму длин восьми отрезков, каждый длиной 3x. Итого, P=40x+8∙3x=64x .

B) .

Перенесём все горизонтальные «ступеньки» и вертикальные верхние отрезки во внешнюю область. Периметр полученного прямоугольника равен P=2(7y+4y)=22y. Чтобы найти периметр исходной фигуры, нужно к периметру прямоугольника прибавить сумму длин четырех отрезков, каждый длиной y: P=22y+4∙y=26y .

D) .

Перенесем из внутренней области во внешнюю все горизонтальные линии и передвинем две вертикальные внешние линии в левом и правом углах, соответственно, на z левее и правее. В результате получим большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(11z+3z)=28z.

Периметр исходной фигуры равен сумме периметра большого прямоугольника и длин шести отрезков по z: P=28z+6∙z=34z .

B) .

Решение полностью аналогично решению предыдущего примера. После преобразования фигуры находим периметр большого прямоугольника:

P=2(5z+3z)=16z. К периметру прямоугольника прибавляем сумму длин оставшихся шести отрезков, каждый из которых равен z: P=16z+6∙z=22z .

Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.

Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.

Определение периметра

Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.

Измеряем периметр

Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.

Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.

Круг, квадрат, равносторонний треугольник

Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).

Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.

Основные понятия

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.

Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.

Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.

Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.

Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.

Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.

Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.

Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.

Формула периметра фигуры

Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:

$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.

Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .

Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.

Решение:

Используем формулу $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 см$

Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.

Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.

Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.

Инструкция

Если измеряемый многоугольник правильный, то есть у него все стороны и углы равны, то для нахождения периметра измерьте длину одной из его сторон с помощью линейки. Затем посчитайте количество , которое равно количество его сторон. Получившееся число умножьте на длину стороны фигуры. Это будет многоугольника.

Если многоугольник симметричный и имеет 2 или 4 пары равного набора сторон, то измерьте сначала длину сторон на одном из повторяющихся участков. Затем сложите полученные значения и для получения периметра фигуры умножьте эту сумму на количество повторяющихся частей в многоугольнике.

Источники:

• единица измерения периметра

Нахождение периметра пятиугольника - задача, требующая обширных теоретических знаний, пространственного и логического мышления. Важно также и правильно оформить решение.

Вам понадобится

• - Тетрадь;
• - линейка;
• - карандаш;
• - ручка;
• - калькулятор.

Инструкция

Пятиугольник – это многоугольник с . Пятиугольники правильными и неправильными. Правильный пятиугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой.

Неправильный пятиугольник – это многоугольник, стороны и углы которого не равны. В базовом курсе чаще рассматриваются правильные пятиугольники.

Если в задаче дано, что сторона правильного пятиугольника АВСDF равна 5 см, то периметр его будет равен:

В данном случае вы просто умножаете длину стороны пятиугольника на количество сторон, т.к. все они равны между собой (Рис.1).

Если же в задании вам встретился неправильный пятиугольник, то вы должны сначала найти длину каждой его стороны, а потом сложить их.

К , в задаче говорится, что ВО = 8, ОF = 4, ВС = 7, угол ВОА = 90, угол ОАМ = 45, ОМ = 3, АВ = DF, ВС = СD. Вначале рассмотрите треугольник АОВ: ВО = 8. Из условия следует, что АО = ОF = 4. Треугольник АОВ является . АО и ОF – катеты, АВ – гипотенуза. По теореме Пифагора, квадрат равен сумме квадратов катетов.

Следовательно, АВ ^2 = АО ^2 + ОF ^2.

АВ ^2 = 8^2 + 4^2

АВ ^2 = 64 + 16

АВ = DF = 8,94.

Затем рассмотрите треугольник АОF. АО = ОF = 4, ОМ = 3. Угол АОВ = DОF = 90 (как накрест лежащие). Следовательно, АОМ = ВОD (как накрест лежащие), и АОМ + ВОD = 360 - АОВ + DОF = 180. АОМ = 90.

Отсюда следует, что треугольник АОF – прямоугольный.

Значит угол АМО = АОМ – ОАМ,

АМО = 90 – 45, АМО = 45.

Следовательно, треугольник АОF – равнобедренный. А в равнобедренных треугольниках напротив углов лежат равные стороны. Значит АМ = ОМ = 3.

Отсюда АF = 2АМ = 6.

Теперь вы можете вычислить периметр пятиугольника АВСDF.

Р = 8,94*2+7*2+6

Многоугольник состоит из нескольких отрезков, соединенных между собой и образующих замкнутую линию. Все фигуры этого класса делятся на простые и сложные. К простым относятся треугольник и четырехугольник, а к сложным - многоугольники с большим количеством сторон , а также звездчатые многоугольники.

Инструкция

Наиболее часто в задачах встречается правильный треугольник со сторон ой a. Поскольку многоугольник является правильным, то все три его сторон ы равны. Следовательно, зная медиану и высоту треугольника, можно найти все его сторон ы. Для этого используйте способ нахождения сторон ы :a=x/cosα.Так как сторон ы , т.е. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, где x - высота, медиана или биссектриса.Аналогичным образом находите все три неизвестные сторон ы в равнобедренном треугольнике, но при одном условии - заданной высоте. Она должна проецироваться на основание треугольника. Зная высоту основания x, найдите сторон у a:a=x/cosα.Поскольку a=b, так как треугольник равнобедренный, найдите его сторон ы следующим образом:a=b=x/cosα.После того как вы нашли боковые сторон ы треугольника, вычислите длину основания треугольника, применяя теорему Пифагора для нахождения половины основания:c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^2α)/ cos^2α=xtgα.Отсюда найдите основание:c=2xtgα.

Квадрат представляет собой , сторон ы которого вычисляются несколькими способами. Ниже рассмотрен каждый из них.Первый способ предлагает нахождение сторон ы квадрата. Поскольку все углы у квадрата прямые, данная их пополам таким образом, что образуются два прямоугольных треугольника с углами 45 градусов при . Соответственно, сторон а квадрата равна:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, где d - квадрата.Если квадрат вписан в окружность, то зная радиус этой окружности, найдите его сторон у:a4=R√2, где R - радиус окружности.

У многосторон них многоугольников сторон у вычисляйте последним из способов - путем вписывания многоугольника в окружность. Для этого начертите правильный многоугольник с произвольными сторон ами, а вокруг него окружность с заданным радиусом R.Представьте себе, что в задаче дан некоторый произвольный n-угольник. Если окружность описана около этого многоугольника , то для нахождения сторон ы примените формулу:an=2Rsinα/2.

Видео по теме

Периметром многоугольника называют замкнутую ломаную линию, составленную из всех его сторон. Нахождение длины этого параметра сводится к суммированию длин сторон. Если все отрезки, образующие периметр такой двухмерной геометрической фигуры, имеют одинаковые размеры, многоугольник называется правильным. В этом случае вычисление периметра значительно упрощается.

Инструкция

В самом простом случае, когда известны длина стороны (а) правильного многоугольника и число вершин (n) в нем, для вычисления длины периметра (Р) просто перемножьте эти две величины: Р = а*n. Например, длина периметра со стороной в 15 см должна быть равна 15*6=90 см.

Вычислить периметр такого многоугольника по известному радиусу (R) описанной около него окружности тоже возможно. Для этого сначала выразить длину стороны с использованием радиуса и количества вершин (n), а затем умножить полученную величину на число сторон. Чтобы рассчитать длину стороны умножьте радиус на синус числа Пи, поделенного на количество вершин, а результат удвойте: R*sin(π/n)*2. Если вам удобнее вычислять тригонометрическую функцию в , замените число Пи на 180°: R*sin(180°/n)*2. Периметр вычислите умножением полученной величины на число вершин: Р = R*sin(π/n)*2*n = R*sin(180°/n)*2*n. Например, если шестиугольник вписан в круг с радиусом 50 см, его периметр будет иметь длину 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0,5*12 = 300 см.

Схожим способом можно периметр, не зная длины стороны правильного многоугольника , если он около окружности с известным радиусом (r). В этом случае для вычисления размера стороны фигуры будет отличаться от предыдущей лишь задействованной тригонометрической функцией. Замените в формуле синус на тангенс, чтобы