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संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर क्या है? भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

सामग्री:

भिन्नों को जोड़ना या घटाना विभिन्न भाजक(फ्रैक्शनल बार के नीचे की संख्याएं), आपको सबसे पहले उनका लघुत्तम समापवर्तक (एलसीडी) ढूंढना होगा। यह संख्या सबसे छोटी गुणज होगी जो प्रत्येक हर के गुणजों की सूची में आती है, अर्थात, प्रत्येक हर से विभाज्य संख्या। आप दो या दो से अधिक हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) की भी गणना कर सकते हैं। फिर भी हम बात कर रहे हैंपूर्णांकों के बारे में, जिन्हें खोजने की विधियाँ बहुत समान हैं। NOZ को परिभाषित करके, आप भिन्नों को कम कर सकते हैं आम विभाजक, जो बदले में आपको उन्हें जोड़ने और घटाने की अनुमति देता है।

कदम

1 लिस्टिंग गुणक

1 प्रत्येक हर के गुणजों की सूची बनाएं।समीकरण में प्रत्येक हर के लिए कई गुणजों की एक सूची बनाएं। प्रत्येक सूची में हर का गुणनफल 1, 2, 3, 4, इत्यादि शामिल होना चाहिए।
- उदाहरण: 1/2 + 1/3 + 1/5
- 2 के गुणज: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; और इसी तरह।
- 3 के गुणज: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3*3=9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; और इसी तरह।
- 5 के गुणज: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; और इसी तरह।
2 लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।प्रत्येक सूची को देखें और सभी हरों में समान गुणजों को नोट करें। उभयनिष्ठ गुणजों की पहचान करने के बाद, सबसे छोटा हर निर्धारित करें।
- ध्यान दें कि यदि एक उभयनिष्ठ हर नहीं मिलता है, तो एक उभयनिष्ठ गुणज प्रकट होने तक गुणज लिखना जारी रखना आवश्यक हो सकता है।
- जब हर न हो तो इस पद्धति का उपयोग करना बेहतर (और आसान) होता है बड़ी संख्या.
- हमारे उदाहरण में, सभी हरों का सामान्य गुणज 30: 2 * 15 = है 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
- एनओजेड = 30
3 भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के लिए, उनके मान को बदले बिना, प्रत्येक अंश (अंशफलक पट्टी के ऊपर की संख्या) को संबंधित हर द्वारा NOZ को विभाजित करने के भागफल के बराबर संख्या से गुणा करें।
- उदाहरण: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- नया समीकरण: 15/30 + 10/30 + 6/30
4 परिणामी समीकरण को हल करें. NOZ खोजने और संगत भिन्नों को बदलने के बाद, परिणामी समीकरण को हल करें। अपने उत्तर को सरल बनाना न भूलें (यदि संभव हो तो)।
- उदाहरण: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 महानतम सामान्य भाजक का उपयोग करना

1 प्रत्येक हर के भाजक की सूची बनाएं।भाजक एक पूर्णांक है जो विभाजित करता है दिया गया नंबर. उदाहरण के लिए, संख्या 6 के भाजक संख्याएँ 6, 3, 2, 1 हैं। किसी भी संख्या का भाजक 1 है, क्योंकि कोई भी संख्या एक से विभाज्य होती है।
- उदाहरण: 3/8 + 5/12
- विभाजक 8: 1, 2, 4 , 8
- डिवाइडर 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
2 दोनों हरों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) खोजें।प्रत्येक हर के भाजक को सूचीबद्ध करने के बाद, सभी सामान्य भाजक को नोट करें। सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह सबसे बड़ा सामान्य भाजक है जिसकी आपको समस्या को हल करने के लिए आवश्यकता होती है।
- हमारे उदाहरण में, हर 8 और 12 के लिए सामान्य भाजक संख्याएँ 1, 2, 4 हैं।
- जीसीडी = 4.
3 हरों को एक साथ गुणा करें।यदि आप किसी समस्या को हल करने के लिए जीसीडी का उपयोग करना चाहते हैं, तो पहले हरों को एक साथ गुणा करें।
- उदाहरण: 8 * 12 = 96
4 परिणामी मान को gcd से विभाजित करें।जब आपको हर को गुणा करने का परिणाम मिल जाए, तो इसे आपके द्वारा गणना की गई जीसीडी से विभाजित करें। परिणामी संख्या सबसे छोटा सामान्य विभाजक (एलसीडी) होगी।
- उदाहरण: 96/4 = 24
5
- उदाहरण: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
6 परिणामी समीकरण को हल करें.
- उदाहरण: 9/24 + 10/24 = 19/24

3 प्रत्येक हर का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन

1 प्रत्येक हर को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।प्रत्येक हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें, अर्थात। प्रमुख संख्या, जिसे गुणा करने पर मूल हर मिलता है। याद रखें कि अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 या स्वयं से विभाज्य होती हैं।
- उदाहरण: 1/4 + 1/5 + 1/12
- अभाज्य गुणक 4: 2 * 2
- प्रधान गुणक 5: 5
- अभाज्य गुणक 12: 2 * 2 * 3
2 प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड में प्रत्येक हर की संख्या की गणना करें।अर्थात्, यह निर्धारित करें कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड प्रत्येक हर के गुणनखंडों की सूची में कितनी बार आता है।
- उदाहरण: दो हैं 2 हर 4 के लिए; शून्य 2 5 के लिए; दो 2 12 के लिए
- शून्य है 3 4 और 5 के लिए; एक 3 12 के लिए
- शून्य है 5 4 और 12 के लिए; एक 5 5 के लिए
3 प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए केवल सबसे बड़ी संख्या ही लें।प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड किसी भी हर में प्रकट होने वाली सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करें।
- उदाहरण के लिए: किसी गुणक के लिए सबसे अधिक संख्या 2 - 2 बार; के लिए 3 - एक बार; के लिए 5 - एक बार।
4 पिछले चरण में पाए गए प्रमुख कारकों को क्रम से लिखें।यह मत लिखें कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड सभी मूल हरों में कितनी बार आता है - इसे इसी के साथ लिखें सबसे बड़ी संख्याकई बार (जैसा कि पिछले चरण में बताया गया है)।
- उदाहरण: 2, 2, 3, 5
5 इन संख्याओं को गुणा करें.इन संख्याओं का गुणनफल NOZ है।
- उदाहरण: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
- NOZ = 60
6 NOZ को मूल हर से विभाजित करें।भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के लिए आवश्यक गुणक की गणना करने के लिए, आपको मिले NOZ को मूल हर से विभाजित करें। प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उस कारक से गुणा करें। आपको एक उभयनिष्ठ हर वाली भिन्नें मिलेंगी।
- उदाहरण: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
7 परिणामी समीकरण को हल करें. NOZ मिला; अब आप भिन्नों को जोड़ या घटा सकते हैं। अपने उत्तर को सरल बनाना न भूलें (यदि संभव हो तो)।
- उदाहरण: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 मिश्रित संख्याओं के साथ कार्य करना

1 प्रत्येक मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलें।ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग को गुणा करें मिश्रित संख्याहर में और अंश में जोड़ें - यह अंश होगा अनुचित अंश. पूर्ण संख्या को भिन्न में भी बदलें (केवल हर में 1 डालें)।
- उदाहरण: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- पुनर्लिखित समीकरण: 8/1 + 9/4 + 2/3
2 सबसे कम सामान्य विभाजक ज्ञात कीजिए।पिछले अनुभागों में वर्णित किसी भी विधि का उपयोग करके एनओएच की गणना करें। इस उदाहरण के लिए, हम "सूची गुणक" पद्धति का उपयोग करेंगे, जिसमें प्रत्येक हर के गुणज लिखे जाते हैं और उनसे एनपीवी की गणना की जाती है।
- ध्यान दें कि आपको गुणकों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है 1 , चूँकि किसी भी संख्या को गुणा किया जाता है 1 , स्वयं के बराबर है; दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या एक गुणज है 1 .
- उदाहरण: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4*3= 12 ; 4 * 4 = 16; वगैरह।
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; वगैरह।
- NOZ = 12
3 मूल समीकरण को पुनः लिखें.मूल भिन्नों के अंश और हर को संबंधित हर से NOZ को विभाजित करने के भागफल के बराबर संख्या से गुणा करें।
- उदाहरण के लिए: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
4 प्रश्न हल करें। NOZ मिला; अब आप भिन्नों को जोड़ या घटा सकते हैं। अपने उत्तर को सरल बनाना न भूलें (यदि संभव हो तो)।
- उदाहरण: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

आपको क्या चाहिए होगा

पेंसिल
कागज़
कैलकुलेटर (वैकल्पिक)

भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर खोजने में सक्षम होना चाहिए। नीचे एक विस्तृत निर्देश है.

न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करें - अवधारणा

न्यूनतम सामान्य विभाजक (एलसीडी) सरल शब्दों मेंवह न्यूनतम संख्या है जो इस उदाहरण में सभी भिन्नों के हरों से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, इसे लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) कहा जाता है। NOZ का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब भिन्नों के हर अलग-अलग हों।

न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करें - उदाहरण

आइए NOZ खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

गणना करें: 3/5 + 2/15।

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

हम भिन्नों के हरों को देखते हैं, सुनिश्चित करते हैं कि वे भिन्न हैं और भाव यथासंभव कम किए गए हैं।
हम देखतें है सबसे छोटी संख्या, जो 5 और 15 दोनों से विभाज्य है। यह संख्या 15 होगी। इस प्रकार, 3/5 + 2/15 = ?/15।
हमने हर का पता लगा लिया। अंश में क्या होगा? एक अतिरिक्त गुणक हमें इसका पता लगाने में मदद करेगा। एक अतिरिक्त गुणनखंड NOZ को किसी विशेष भिन्न के हर से विभाजित करने पर प्राप्त संख्या है। 3/5 के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है, क्योंकि 15/5 = 3। दूसरे भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 1 है, चूँकि 15/15 = 1।
अतिरिक्त गुणनखंड का पता लगाने के बाद, हम इसे भिन्नों के अंशों से गुणा करते हैं और परिणामी मान जोड़ते हैं। 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15।

उत्तर: 3/5 + 2/15 = 11/15.

यदि उदाहरण में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक भिन्न जोड़े या घटाए जाते हैं, तो दिए गए भिन्नों की संख्या के लिए NOZ खोजना होगा।

गणना करें: 1/2 - 5/12 + 3/6

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

सबसे कम सामान्य भाजक ढूँढना. 2, 12 और 6 से विभाज्य न्यूनतम संख्या 12 है।
हमें मिलता है: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12।
हम अतिरिक्त गुणकों की तलाश कर रहे हैं। 1/2 - 6 के लिए; 5/12 - 1 के लिए; 3/6 - 2 के लिए.
अंशों से गुणा करें और निर्दिष्ट करें संगत चिह्न: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

उत्तर: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

मैं मूल रूप से "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" पैराग्राफ में सामान्य विभाजक विधियों को शामिल करना चाहता था। लेकिन इतनी अधिक जानकारी थी, और इसका महत्व इतना महान है (आखिरकार, न केवल संख्यात्मक अंशों में सामान्य भाजक होते हैं), कि इस मुद्दे का अलग से अध्ययन करना बेहतर है।

तो मान लीजिए कि हमारे पास अलग-अलग हर वाले दो भिन्न हैं। और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि हर एक समान हो जाएं। अंश की मुख्य संपत्ति बचाव के लिए आती है, जो, मैं आपको याद दिला दूं, इस तरह लगती है:

एक भिन्न नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, यदि आप गुणनखंडों को सही ढंग से चुनते हैं, तो भिन्नों के हर बराबर होंगे - इस प्रक्रिया को सामान्य हर में कमी कहा जाता है। और वांछित संख्याएँ, हर को "समतल" करने वाली, अतिरिक्त गुणनखंड कहलाती हैं।

आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता क्यों है? यहाँ केवल कुछ कारण हैं:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्न तुलना. कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

संख्याएँ ज्ञात करने के कई तरीके हैं जिनसे गुणा करने पर हर बराबर हो जाते हैं। हम उनमें से केवल तीन पर विचार करेंगे - बढ़ती जटिलता के क्रम में और, एक अर्थ में, दक्षता के अनुसार।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय तरीका, जो हर को बराबर करने की गारंटी देता है। हम "आगे" कार्य करेंगे: हम पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे को पहले भिन्न के हर से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर मूल हर के गुणनफल के बराबर हो जाएंगे। नज़र रखना:

अतिरिक्त कारकों के रूप में, पड़ोसी भिन्नों के हरों पर विचार करें। हम पाते हैं:

हाँ, यह इतना आसान है. यदि आप अभी-अभी भिन्न सीखना शुरू कर रहे हैं, तो इस पद्धति के साथ काम करना बेहतर है - इस तरह आप कई गलतियों के खिलाफ खुद को सुरक्षित कर लेंगे और परिणाम प्राप्त करने की गारंटी देंगे।

एकमात्र नकारात्मक पक्ष यह विधि- आपको बहुत गिनना होगा, क्योंकि हर को "पूर्ण" से गुणा किया जाता है, और परिणाम बहुत बड़ी संख्या हो सकता है। यही विश्वसनीयता की कीमत है.

सामान्य भाजक विधि

यह तकनीक गणनाओं को बहुत कम करने में मदद करती है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। विधि इस प्रकार है:

"थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हरों को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
इस तरह के विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
साथ ही, बड़े हर वाले भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं होती है - यही बचत है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 84: 21 = 4; 72:12 = 6. चूँकि दोनों ही मामलों में एक हर दूसरे से शेषफल के बिना विभाज्य है, हम सामान्य गुणनखंडों की विधि का उपयोग करते हैं। हमारे पास है:

ध्यान दें कि दूसरे भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया गया था। वास्तव में, हमने गणना की मात्रा आधी कर दी है!

वैसे, मैंने इस उदाहरण में भिन्नों को एक कारण से लिया है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके उन्हें गिनने का प्रयास करें। कटौती के बाद जवाब वही होंगे, लेकिन काम बहुत ज्यादा होगा.

यह विधि की ताकत है. सामान्य विभाजक, लेकिन, मैं दोहराता हूं, इसका उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब एक हर को बिना किसी शेषफल के दूसरे से विभाजित किया जाए। जो कि बहुत ही कम होता है.

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाना, नियम, उदाहरण, समाधान।

यह लेख बताता है, न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करेंऔर भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे लाया जाए.

सबसे पहले, भिन्नों के उभयनिष्ठ हर और लघुत्तम समापवर्तक की परिभाषाएँ दी गई हैं, और यह भी दिखाया गया है कि भिन्नों का उभयनिष्ठ हर कैसे ज्ञात किया जाए। निम्नलिखित भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का एक नियम है और इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार किया गया है। निष्कर्ष में, तीन या अधिक भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के उदाहरणों का विश्लेषण किया गया है।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना क्या कहलाता है?

यदि साधारण भिन्नों के हर बराबर हों, तो ये भिन्न कहलाती हैं एक सामान्य भाजक तक कम हो गया.

तो भिन्न 45/76 और 143/76 को 76 के एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, और भिन्न 1/3, 3/3, 17/3 और 1000/3 को 3 के एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है।

यदि भिन्नों के हर समान नहीं हैं, तो ऐसी भिन्नों को हमेशा उनके अंश और हर को कुछ अतिरिक्त कारकों से गुणा करके एक सामान्य हर में बदला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, साधारण भिन्न 2/5 और 7/4 को क्रमशः अतिरिक्त गुणनखंड 4 और 5 की सहायता से 20 के सामान्य हर में घटा दिया जाता है। दरअसल, भिन्न 2/5 के अंश और हर को 4 से गुणा करने पर, हम भिन्न 8/20 प्राप्त करें, और अंश और हर भिन्नों 7/4 को 5 से गुणा करने पर, हम भिन्न 35/20 पर आते हैं (एक नए हर में भिन्नों की कमी देखें)।

अब हम कह सकते हैं कि भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना क्या होता है। भिन्नों को एक सामान्य हर में लानादिए गए भिन्नों के अंशों और हरों को ऐसे अतिरिक्त कारकों से गुणा करना है कि परिणाम समान हर वाले भिन्न हों।

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सामान्य विभाजक, परिभाषा, उदाहरण

अब भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को परिभाषित करने का समय आ गया है।

दूसरे शब्दों में, साधारण भिन्नों के कुछ समुच्चय का उभयनिष्ठ हर कोई होता है प्राकृतिक संख्या, जो दिए गए भिन्नों के सभी हरों से विभाज्य है।

उपरोक्त परिभाषा से यह पता चलता है कि भिन्नों के इस सेट में अपरिमित रूप से कई सामान्य हर होते हैं, क्योंकि भिन्नों के मूल सेट के सभी हरों के सामान्य गुणजों की संख्या अनंत होती है।

भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को निर्धारित करने से आप दिए गए भिन्नों के उभयनिष्ठ हर को ढूंढ सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए भिन्न 1/4 और 5/6 दिए गए हैं, तो उनके हर क्रमशः 4 और 6 हैं।

4 और 6 के धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज 12, 24, 36, 48, हैं... इनमें से कोई भी संख्या 1/4 और 5/6 का उभयनिष्ठ हर है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

क्या भिन्नों 2/3, 23/6 और 7/12 को 150 के सामान्य हर में घटाया जा सकता है?

प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें यह पता लगाना होगा कि क्या संख्या 150 हर 3, 6 और 12 का एक सामान्य गुणज है। ऐसा करने के लिए, जांचें कि क्या 150 इनमें से प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य है (यदि आवश्यक हो, तो नियम देखें और प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण, साथ ही शेषफल के साथ प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के नियम और उदाहरण): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (बाकी)।

अतः, 150, 12 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, 150 संख्या 3, 6 और 12 का एक सामान्य गुणज नहीं है। इसलिए, संख्या 150 मूल भिन्नों का एक सामान्य हर नहीं हो सकता है।

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सबसे कम सामान्य विभाजक, इसे कैसे खोजें?

संख्याओं के समूह में जो इन भिन्नों के उभयनिष्ठ हर होते हैं, सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या होती है, जिसे सबसे छोटा सामान्य हर कहा जाता है।

आइए हम इन भिन्नों के लघुत्तम समापवर्तक की परिभाषा तैयार करें।

यह इस प्रश्न से निपटना बाकी है कि न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात किया जाए।

चूँकि लघुत्तम समापवर्त्य किसी दिए गए संख्याओं के समूह का सबसे छोटा धनात्मक समापवर्तक है, इसलिए दिए गए भिन्नों के हर का LCM, दिए गए भिन्नों का सबसे छोटा समापवर्तक है।

इस प्रकार, भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर ज्ञात करना इन भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात करने तक सीमित हो जाता है।

आइए एक उदाहरण समाधान पर नजर डालें.

3/10 और 277/28 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

इन भिन्नों के हर 10 और 28 हैं। वांछित लघुत्तम समापवर्तक संख्या 10 और 28 के एलसीएम के रूप में पाया जाता है। हमारे मामले में, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम खोजना आसान है: चूंकि 10=2 5, और 28=2 2 7, फिर एलसीएम(15, 28)=2 2 5 7=140।

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भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में कैसे लाया जाए? नियम, उदाहरण, समाधान

सामान्य भिन्न आमतौर पर सबसे कम सामान्य हर की ओर ले जाते हैं।

अब हम एक नियम लिखेंगे जो बताता है कि भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कैसे कम किया जाए।

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करने का नियमइसमें तीन चरण होते हैं:

सबसे पहले, भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
दूसरा, प्रत्येक अंश के लिए, एक अतिरिक्त कारक की गणना की जाती है, जिसके लिए सबसे कम सामान्य हर को प्रत्येक अंश के हर से विभाजित किया जाता है।
तीसरा, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा किया जाता है।

आइए बताए गए नियम को निम्नलिखित उदाहरण के समाधान पर लागू करें।

भिन्नों 5/14 और 7/18 को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाएँ।

आइए भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर तक कम करने के लिए एल्गोरिथम के सभी चरणों का पालन करें।

सबसे पहले, हम लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं, जो संख्याओं 14 और 18 के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है। चूँकि 14=2 7 और 18=2 3 3, तो एलसीएम(14, 18)=2 3 3 7=126 .

अब हम अतिरिक्त गुणनखंडों की गणना करते हैं, जिनकी सहायता से भिन्न 5/14 और 7/18 को हर 126 में घटा दिया जाएगा। भिन्न 5/14 के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 126:14=9 है, और भिन्न के लिए 7 /18, अतिरिक्त गुणनखंड 126:18=7 है।

भिन्न 5/14 और 7/18 के अंश और हर को क्रमशः अतिरिक्त गुणनखंड 9 और 7 से गुणा करना बाकी है।

हमारे पास है और .

तो, भिन्न 5/14 और 7/18 को सबसे छोटे सामान्य हर में घटाने का काम पूरा हो गया है।

परिणाम भिन्न 45/126 और 49/126 था।

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तीन या अधिक भिन्नों के लघुत्तम समापवर्त्य को घटाना

पिछले पैराग्राफ का नियम आपको न केवल दो भिन्न, बल्कि तीन भिन्न, और उनमें से अधिक को न्यूनतम सामान्य हर में लाने की अनुमति देता है।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें.

चार सामान्य भिन्नों 3/2, 5/6, 3/8 और 17/18 को न्यूनतम सामान्य हर तक घटाएँ।

इन भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक संख्याओं 2, 6, 8 और 18 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है। एलसीएम(2, 6, 8, 18) ज्ञात करने के लिए, हम अनुभाग से प्राप्त जानकारी का उपयोग करेंगे। तीन या अधिक संख्याओं का LCM.

हमें LCM(2, 6)=6, LCM(6, 8)=24, और अंत में LCM(24, 18)=72 मिलता है, इसलिए LCM(2, 6, 8, 18)=72। तो सबसे कम सामान्य विभाजक 72 है।

अब हम अतिरिक्त कारकों की गणना करते हैं। अंश 3/2 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72:2=36 है, अंश 5/6 के लिए यह 72:6=12 है, अंश 3/8 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72:8=9 है, और अंश 17/18 के लिए यह है 72 :18=4 है.

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

मूल भिन्नों को न्यूनतम सामान्य विभाजक पर लाने का अंतिम चरण बाकी है:।

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आम विभाजकदिए गए भिन्नों के सभी हरों का कोई धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज है।

न्यूनतम सार्व भाजकइन भिन्नों के सभी सामान्य हरों में से सबसे छोटी संख्या है।

विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित: 5 कक्षों के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित. ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।

सामान्य भिन्नों का सामान्य हर

यदि साधारण भिन्नों के हर समान हों, तो इन भिन्नों का एक उभयनिष्ठ हर होता है। जैसे,

उनके पास एक सामान्य विभाजक है।

आम विभाजकयह वह संख्या है जो दो या दो से अधिक नियमित भिन्नों का हर है।

विभिन्न हर वाले भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है।

एक सामान्य हर को भिन्न देना

एक सामान्य हर को भिन्न देनाक्या इन भिन्नों को समान भिन्नों के भिन्न-भिन्न हरों से प्रतिस्थापित करना समान हरों से है?

भिन्नों को बस एक सामान्य हर या सबसे कम सामान्य हर में घटाया जा सकता है।

सबसे छोटा सामान्य भाजकयह इन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर है।

इंटरनेट पर गुटों का सामान्य विभाजक

भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर देने के लिए आपको चाहिए:

यदि संभव हो, तो अंश में कमी करें।
इन भिन्नों की सबसे छोटी सामान्य सूची खोजें। एनओसी उनका सबसे छोटा सामान्य विभाजक बन जाएगा।
एलसीएम को इन भिन्नों के हरों से विभाजित करें। यह माप इनमें से प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक ढूंढता है। अतिरिक्त गुणांकक्या वह संख्या है जिसके लिए भिन्न को एक सामान्य हर में लाने के लिए उसके सदस्यों को गुणा करना आवश्यक है?
प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण।

1) इन गुटों के एनओसी नाम खोजें:

एनओसी(8,12) = 24

2) अतिरिक्त कारक मिले:

24: 8 = 3 (के लिए) और 24: 12 = 2 (के लिए)

3) प्रत्येक गुट के सदस्यों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें:

सामान्य हर की कमी को छोटे रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक भिन्न के काउंटर (ऊपर दाएं या ऊपर बाएं) के अलावा एक अतिरिक्त कारक दर्शाया जाता है और मध्यवर्ती गणना नहीं लिखी जाती है:

पहले अंश के सदस्यों को दूसरे आसन्न अंश से और दूसरे अंश के सदस्यों को पहले अंश के हर से गुणा करके सामान्य हर को अधिक आसानी से कम किया जा सकता है।

उदाहरण।भिन्नों का उभयनिष्ठ हर प्राप्त करें और :

उनके हरों के गुणनफल को भिन्नों के उभयनिष्ठ हर के रूप में लिया जा सकता है।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का उपयोग विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ने, घटाने और तुलना करने के लिए किया जाता है।

सामान्य विभाजक कटौती कैलकुलेटर

यह कैलकुलेटर आपको सामान्य भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक लाने में मदद करेगा।

बस दो गुट दर्ज करें और क्लिक करें।

5.4.5. साधारण भिन्न को न्यूनतम सामान्य विभाजक में बदलने के उदाहरण

निरंतर भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर उन भिन्नों के लिए सबसे छोटा सामान्य हर होता है। (अनुभाग देखें "कम से कम सामान्य एकाधिक खोज": 5.3.5. दी गई संख्याओं में से सबसे छोटी गुणज संख्या (NOC) ज्ञात कीजिए)।

लघुत्तम समापवर्तक पर अंश कम करने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होगा, और यह लघुत्तम समापवर्तक होगा।

2) प्रत्येक गुट के लिए एक अतिरिक्त गुणांक ढूँढता है, जिसके लिए प्रत्येक गुट के नाम के साथ नया हर वितरित किया जाता है। 3) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण। निम्नलिखित भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करना।

हम सबसे कम सामान्य हर पाते हैं: एलसीएम (5; 4) = 20, क्योंकि 20 सबसे छोटी संख्या है जिसे 5 और 4 से विभाजित किया जाता है।

पहले शेयर के लिए, एक अतिरिक्त गुणांक 4 (20 : 5=4). दूसरे अंश के लिए, 5 (20) का एक अतिरिक्त गुणांक है : 4=5). पहले भिन्न की संख्या और हर को 4 से गुणा करें, और दूसरे भिन्न के काउंटर और हर को 5 से गुणा करें।

20 ).

इन भिन्नों के लिए सबसे छोटा सामान्य हर संख्या 8 है, क्योंकि यह 4 और अंदर से विभाज्य है।

पहले शेयर के लिए कोई अतिरिक्त कारक नहीं है (या हम कह सकते हैं कि यह एक के बराबर है), दूसरा कारक एक अतिरिक्त कारक 2 (8) है : 4 = 2). दूसरे भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर. एक सामान्य हर को भिन्न देना

हमने इन भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक घटा दिया है ( आठवां स्थान).

ये गुट असहनीय नहीं हैं.

पहले भिन्न को 4 से कम किया गया है और दूसरे भिन्न को 2 से कम किया गया है। (नियमित भिन्न को कम करने के उदाहरण देखें: साइटमैप → 5.4.2।

पारंपरिक भिन्नों की कमी के उदाहरण)। एनओसी ढूँढता है (16 ; 20) = 24· 5 = 16· 5 = 80. पहली भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 5 (80) है : 16=5). दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 4 (80) है : 20 = 4).

हम पहले भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं, और दूसरे भिन्न के काउंटर और हर को 4 से गुणा करते हैं। भिन्नात्मक जानकारी सबसे कम सामान्य हर को दी गई है ( 80 ).

NOx (5) का न्यूनतम सामान्य विभाजक ज्ञात कीजिए ; 6 और 15) = नॉक (5 ; 6 और 15) = 30। पहली भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 6 (30) है : 5 = 6) 5 (30) के दूसरे भाग में एक अतिरिक्त कारक है : 6 = 5), तीसरी भिन्न 2 (30) के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड है : 15 = 2).

पहले अंश की संख्या और हर को 6 से गुणा किया जाता है, दूसरे अंश की गिनती और हर को 5 से गुणा किया जाता है, तीसरे अंश की गिनती और हर को 2 से गुणा किया जाता है। आंशिक डेटा को सबसे कम सामान्य हर दिया गया था 30 ).

11 में से पृष्ठ 1

न्यूनतम सार्व भाजक।

सबसे कम सामान्य विभाजक क्या है?

परिभाषा:
न्यूनतम सार्व भाजक- सबसे कम है सकारात्मक संख्याइन भिन्नों के हरों का गुणज।

न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे प्राप्त करें? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें:

विभिन्न हर वाले भिन्नों को न्यूनतम सामान्य हर तक कम करें।

समाधान:
लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना होगा।

पहले भिन्न का हर 20 के बराबर है, आइए इसे अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।
20=2⋅5⋅2

हम भिन्न 14 के दूसरे हर को भी सरल गुणनखंडों में विस्तारित करते हैं।
14=7⋅2

एलसीएम(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

उत्तर: सबसे कम सामान्य विभाजक 140 है।

भिन्न को सामान्य हर में कैसे लाया जाए?

आपको हर 140 प्राप्त करने के लिए पहले अंश \(\frac(1)(20)\) को 7 से गुणा करना होगा।

\(\frac(1)(20)=\frac(1 \times 7)(20 \times 7)=\frac(7)(140)\)
और दूसरे अंश को 10 से गुणा करें।

\(\frac(3)(14)=\frac(3 \times 10)(14 \times 10)=\frac(30)(140)\)

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के नियम या एल्गोरिदम।

भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर तक कम करने के लिए एल्गोरिदम:

भिन्नों के हरों को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना आवश्यक है।
आपको इन भिन्नों के हरों के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाएँ, अर्थात् भिन्न के अंश और हर दोनों को एक गुणनखंड से गुणा करें।

कई भिन्नों के लिए सामान्य हर.

एकाधिक भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर कैसे खोजें?

एक उदाहरण पर विचार करें:
भिन्नों \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) के लिए सबसे छोटा सामान्य हर खोजें

समाधान:
आइए हर 11, 15 और 22 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें।

संख्या 11 पहले से ही अपने आप में एक अभाज्य संख्या है, इसलिए इसे लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है।
आइए संख्या 15=5⋅3 का विस्तार करें
आइए संख्या 22=11⋅2 का विस्तार करें

हर 11, 15 और 22 का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए।
एलसीएम(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

हमें इन भिन्नों के लिए सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर मिला। अब हम भिन्न \(\frac(2)(11), \frac(1)(15), \frac(3)(22)\) के डेटा को 330 के बराबर एक सामान्य हर में लाते हैं।

\(\शुरू(संरेखित करें)
\frac(2)(11)=\frac(2 \गुना 30)(11 \गुना 30)=\frac(60)(330) \\\\
\frac(1)(15)=\frac(1 \गुना 22)(15 \गुना 22)=\frac(22)(330) \\\\
\frac(3)(22)=\frac(3 \गुना 15)(22 \गुना 15)=\frac(60)(330) \\\\
\अंत(संरेखित करें)\)

बीजगणितीय भिन्नों के साथ अधिकांश संक्रियाओं, जैसे जोड़ और घटाव, के लिए आवश्यक है कि पहले इन भिन्नों को कम किया जाए समान भाजक. ऐसे हरों को अक्सर "सामान्य हर" भी कहा जाता है। इस विषय में, हम "बीजगणितीय भिन्नों के सामान्य हर" और "बीजगणितीय भिन्नों के सबसे कम सामान्य हर (एलसीडी)" की अवधारणाओं की परिभाषा पर विचार करेंगे, एक सामान्य हर को बिंदु दर बिंदु खोजने के लिए एल्गोरिदम पर विचार करेंगे और विषय पर कई समस्याओं का समाधान करेंगे। .

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बीजगणितीय भिन्नों का सामान्य हर

यदि हम साधारण भिन्नों की बात करें तो सामान्य हर वह संख्या होती है जो मूल भिन्नों के किसी भी हर से विभाज्य होती है। साधारण भिन्नों के लिए 1 2 और 5 9 संख्या 36 एक सामान्य हर हो सकती है, क्योंकि यह बिना किसी शेषफल के 2 और 9 से विभाज्य है।

बीजगणितीय भिन्नों के सामान्य हर को इसी प्रकार परिभाषित किया जाता है, संख्याओं के बजाय केवल बहुपदों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे बीजगणितीय अंश के अंश और हर में होते हैं।

परिभाषा 1

बीजगणितीय भिन्न का सामान्य हरएक बहुपद है जो किसी भी भिन्न के हर से विभाज्य होता है।

बीजगणितीय भिन्नों की विशिष्टताओं के कारण, जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी, हम अक्सर एक उत्पाद के रूप में दर्शाए गए सामान्य हर से निपटेंगे, न कि एक मानक बहुपद के रूप में।

उदाहरण 1

एक बहुपद को गुणनफल के रूप में लिखा जाता है 3 x 2 (x + 1), बहुपद से मेल खाता है मानक दृश्य 3 x 3 + 3 x 2. यह बहुपद बीजीय भिन्नों 2 x, - 3 x y x 2 और y + 3 x + 1 का एक सामान्य हर हो सकता है, इस तथ्य के कारण कि यह इससे विभाज्य है एक्स, पर x2और पर एक्स+1. बहुपदों की विभाज्यता के बारे में जानकारी हमारे संसाधन के संबंधित विषय में है।

न्यूनतम सामान्य विभाजक (एलसीडी)

दिए गए बीजगणितीय भिन्नों के लिए, उभयनिष्ठ हरों की संख्या अनंत हो सकती है।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए भिन्न 1 2 x और x + 1 x 2 + 3 लें। उनका सामान्य विभाजक है 2 एक्स (एक्स 2 + 3), पसंद - 2 एक्स (एक्स 2 + 3), पसंद एक्स (एक्स 2 + 3), पसंद 6 , 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), पसंद − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, और इसी तरह।

समस्याओं को हल करते समय, आप एक सामान्य हर का उपयोग करके अपना काम आसान बना सकते हैं, जिसका हर के पूरे सेट में सबसे सरल रूप होता है। ऐसे हर को अक्सर सबसे कम सामान्य हर के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा 2

बीजगणितीय भिन्नों का न्यूनतम सामान्य विभाजकबीजगणितीय भिन्नों का सामान्य हर है, जिसका रूप सबसे सरल है।

वैसे, "न्यूनतम सामान्य भाजक" शब्द आम तौर पर स्वीकार नहीं किया जाता है, इसलिए बेहतर होगा कि आप खुद को "सामान्य हर" शब्द तक ही सीमित रखें। और यही कारण है।

इससे पहले हमने आपका ध्यान "के हर" वाक्यांश पर केंद्रित किया था अराल तरीका". इस वाक्यांश का मुख्य अर्थ इस प्रकार है: बीजीय भिन्नों की समस्या की स्थिति में डेटा के किसी भी अन्य सामान्य हर को बिना किसी शेषफल के सरलतम रूप के हर से विभाजित किया जाना चाहिए। इस मामले में, उत्पाद में, जो भिन्नों का एक सामान्य हर है, आप विभिन्न संख्यात्मक गुणांकों का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 3

भिन्न 1 2 x और x + 1 x 2 + 3 लीजिए। हमने पहले ही पता लगा लिया है कि 2 · x · (x 2 + 3) रूप के एक सामान्य हर के साथ काम करना हमारे लिए सबसे आसान होगा। साथ ही, इन दोनों भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हर हो सकता है एक्स (एक्स 2 + 3), जिसमें कोई संख्यात्मक गुणांक नहीं है। प्रश्न यह है कि इन दोनों उभयनिष्ठ हरों में से कौन सा भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर है। इसका कोई स्पष्ट उत्तर नहीं है, इसलिए केवल सामान्य विभाजक के बारे में बात करना और उस विकल्प को काम में लेना अधिक सही है जिसके साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होगा। इसलिए, हम ऐसे सामान्य हरों का उपयोग कर सकते हैं एक्स 2 (एक्स 2 + 3) (वाई + वाई 4)या − 15 x 5 (x 2 + 3) 3जिनके पास अधिक है जटिल दृश्य, लेकिन उनसे निपटना अधिक कठिन हो सकता है।

बीजगणितीय भिन्नों का एक सामान्य हर ढूँढना: क्रियाओं का एक एल्गोरिदम

मान लीजिए कि हमारे पास कई बीजगणितीय भिन्न हैं जिनके लिए हमें एक सामान्य हर खोजने की आवश्यकता है। इस समस्या को हल करने के लिए, हम क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, हमें मूल भिन्नों के हरों का गुणनखंड करना होगा। फिर हम एक कार्य बनाते हैं, जिसमें हम क्रमिक रूप से शामिल करते हैं:

प्रथम भिन्न के हर से घात सहित सभी गुणनखंड;
दूसरे अंश के हर में मौजूद सभी कारक, लेकिन जो लिखित उत्पाद में नहीं हैं या उनकी डिग्री पर्याप्त नहीं है;
तीसरी भिन्न के हर से सभी लुप्त गुणनखंड, इत्यादि।

परिणामी उत्पाद बीजगणितीय भिन्नों का सामान्य हर होगा।

उत्पाद के गुणक के रूप में, हम समस्या की स्थिति में दिए गए भिन्नों के सभी हरों को ले सकते हैं। हालाँकि, परिणामस्वरूप हमें जो गुणक प्राप्त होगा वह अर्थ में NOZ से बहुत दूर होगा और इसका उपयोग तर्कहीन होगा।

उदाहरण 4

भिन्नों 1 x 2 · y , 5 x + 1 और y - 3 x 5 · y का उभयनिष्ठ हर निर्धारित करें।

समाधान

में इस मामले मेंहमें मूल भिन्नों के हरों का गुणनखंड करने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, हम किसी उत्पाद को संकलित करके एल्गोरिदम लागू करना शुरू करेंगे।

पहले भिन्न के हर से हम गुणनखंड लेते हैं एक्स 2 वाई, दूसरे भिन्न के हर से, गुणनखंड एक्स+1. हमें उत्पाद मिलता है एक्स 2 वाई (एक्स + 1).

तीसरे भिन्न का हर हमें गुणक दे सकता है x 5 वर्षहालाँकि, जिस उत्पाद को हमने पहले संकलित किया था, उसमें पहले से ही कारक मौजूद हैं x2और य. इसलिए, हम और जोड़ते हैं एक्स 5 − 2 = एक्स 3. हमें उत्पाद मिलता है एक्स 2 वाई (एक्स + 1) एक्स 3, जिसे फॉर्म में लाया जा सकता है x 5 y (x + 1). यह बीजीय भिन्नों का हमारा NOZ होगा।

उत्तर:एक्स 5 वाई (एक्स + 1) .

अब उन समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें जहां बीजगणितीय भिन्नों के हर में पूर्णांक संख्यात्मक गुणनखंड होते हैं। ऐसे मामलों में, हम पहले पूर्णांक संख्यात्मक कारकों को अभाज्य कारकों में विघटित करके एल्गोरिदम के अनुसार भी कार्य करते हैं।

उदाहरण 5

भिन्नों 1 12 x और 1 90 x 2 का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

समाधान

भिन्नों के हरों की संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करने पर, हमें 1 2 2 3 x और 1 2 3 2 5 x 2 प्राप्त होते हैं। अब हम एक सामान्य हर को संकलित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले भिन्न के हर से गुणनफल लेते हैं 2 2 3 एक्सऔर गुणनखंड 3, 5 और जोड़ें एक्सदूसरे भिन्न के हर से. हम पाते हैं 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. यह हमारा सामान्य भाजक है.

उत्तर: 180x2.

यदि आप विश्लेषण किए गए दो उदाहरणों के परिणामों को ध्यान से देखेंगे, तो आप देखेंगे कि भिन्नों के सामान्य हर में वे सभी कारक शामिल होते हैं जो हर के विस्तार में मौजूद होते हैं, और यदि कई हर में एक निश्चित कारक होता है, तो वह है उपलब्ध घातांकों में से सबसे बड़े के साथ लिया गया। और यदि हर में पूर्णांक गुणांक हैं, तो सामान्य हर में इन संख्यात्मक गुणांकों के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर एक संख्यात्मक कारक होता है।

उदाहरण 6

दोनों बीजीय भिन्नों 1 12 x और 1 90 x 2 के हर का एक गुणनखंड होता है एक्स. दूसरे मामले में, x कारक का वर्ग किया जाता है। एक सामान्य विभाजक को संकलित करने के लिए, हमें इस कारक को सबसे बड़ी सीमा तक ले जाना होगा, अर्थात। x2. चर के साथ कोई अन्य गुणक नहीं हैं। मूल भिन्नों के पूर्णांक संख्यात्मक गुणांक 12 और 90 , और उनका लघुत्तम समापवर्त्य है 180 . यह पता चला है कि वांछित सामान्य विभाजक का रूप है 180x2.

अब हम बीजगणितीय भिन्नों का उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने के लिए एक और एल्गोरिदम लिख सकते हैं। इसके लिए हम:

सभी भिन्नों के हरों का गुणनखंडन कर सकेंगे;
हम सभी शाब्दिक कारकों का उत्पाद बनाते हैं (यदि कई विस्तारों में एक कारक है, तो हम उच्चतम घातांक वाला विकल्प लेते हैं);
परिणामी उत्पाद में विस्तार के संख्यात्मक गुणांक का एलसीएम जोड़ें।

उपरोक्त एल्गोरिदम समतुल्य हैं, इसलिए उनमें से किसी का उपयोग समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है। विवरणों पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है।

ऐसे मामले होते हैं जब भिन्नों के हरों में सामान्य गुणनखंड संख्यात्मक गुणांकों के पीछे अदृश्य हो सकते हैं। यहां यह समीचीन है कि सबसे पहले हर में मौजूद प्रत्येक गुणनखंड में चरों की उच्चतम घातों वाले संख्यात्मक गुणांकों को कोष्ठक से बाहर रखा जाए।

उदाहरण 7

भिन्नों 3 5 - x और 5 - x · y 2 2 · x - 10 का उभयनिष्ठ हर क्या है।

समाधान

पहले मामले में, माइनस वन को कोष्ठक से बाहर निकाला जाना चाहिए। हमें 3 - x - 5 प्राप्त होता है। हम हर में ऋण से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को - 1 से गुणा करते हैं: - 3 x - 5।

दूसरे मामले में, हम ड्यूस को ब्रैकेट से बाहर निकालते हैं। इससे हमें भिन्न 5 - x · y 2 2 · x - 5 प्राप्त होता है।

जाहिर है, इन बीजीय भिन्नों - 3 x - 5 और 5 - x y 2 2 x - 5 का उभयनिष्ठ हर है 2 (एक्स − 5).

उत्तर:2 (एक्स − 5).

भिन्न समस्या स्थिति में डेटा में भिन्नात्मक गुणांक हो सकते हैं। इन मामलों में, आपको सबसे पहले अंश और हर को किसी संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांकों से छुटकारा पाना होगा।

उदाहरण 8

सरल बीजीय भिन्न 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 और - 2 2 3 x 2 + 1 1 3, फिर उनका उभयनिष्ठ हर निर्धारित करें।

समाधान

आइए पहले मामले में अंश और हर को 14 से गुणा करके, दूसरे मामले में 3 से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। हम पाते हैं:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 और - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 = - 6 2 x 2 + 4 = - 6 2 x 2 + 2।

परिवर्तनों के बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि उभयनिष्ठ विभाजक है 2 (एक्स 2 + 2).

उत्तर: 2 (एक्स 2 + 2).

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गुणन "क्रिस-क्रॉस"

सामान्य भाजक विधि

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

यह समझने के लिए कि कम से कम समापवर्त्य विधि कितनी जीत दिलाती है, "क्रॉसवाइज" विधि का उपयोग करके समान उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें।

भिन्नों का सामान्य हर

बेशक, बिना कैलकुलेटर के। मुझे लगता है कि उसके बाद टिप्पणियाँ बेमानी हो जाएंगी।

यह सभी देखें:

एक भिन्न नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, यदि आप गुणनखंडों को सही ढंग से चुनते हैं, तो भिन्नों के हर बराबर होंगे - इस प्रक्रिया को कहा जाता है। और वांछित संख्याएँ, हरों को "समतल" करने वाली कहलाती हैं।

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्न तुलना. कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत अधिक गिनना पड़ता है, क्योंकि हर को "आगे" से गुणा किया जाता है, और परिणामस्वरूप, बहुत बड़ी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। यही विश्वसनीयता की कीमत है.

सामान्य भाजक विधि

"थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हरों को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
इस तरह के विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
साथ ही, बड़े हर वाले भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं होती है - यही बचत है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. चूंकि दोनों ही मामलों में एक हर बिना किसी शेषफल के दूसरे से विभाज्य है, इसलिए हम सामान्य गुणनखंडों की विधि लागू करते हैं। हमारे पास है:

यह सामान्य भाजक की विधि की ताकत है, लेकिन, फिर से, इसे केवल तभी लागू किया जा सकता है जब एक हर को बिना किसी शेष के दूसरे से विभाजित किया जाता है। जो कि बहुत ही कम होता है.

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

जब हम भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से एक ऐसी संख्या खोजने का प्रयास कर रहे होते हैं जो प्रत्येक हर से विभाज्य हो। फिर हम दोनों भिन्नों के हरों को इस संख्या में लाते हैं।

ऐसी बहुत सारी संख्याएँ हैं, और उनमें से सबसे छोटी संख्या आवश्यक रूप से मूल भिन्नों के हर के प्रत्यक्ष उत्पाद के बराबर नहीं होगी, जैसा कि "क्रॉस-वाइज" विधि में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, हर 8 और 12 के लिए, संख्या 24 काफी उपयुक्त है, क्योंकि 24:8 = 3; 24:12 = 2. यह संख्या बहुत है कम उत्पाद 8 12 = 96.

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (LCM) कहलाती है।

संकेतन: संख्याओं a और b के लघुत्तम समापवर्त्य को LCM(a; b) द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, एलसीएम(16; 24) = 48; एलसीएम(8; 12) = 24.

यदि आप ऐसी संख्या ढूंढने में कामयाब हो जाते हैं, तो गणना की कुल राशि न्यूनतम होगी। उदाहरण की तरफ देखो:

न्यूनतम सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करें

अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 234 = 117 2; 351 = 117 3. गुणनखंड 2 और 3 सहअभाज्य हैं (उनमें 1 को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है), और गुणनखंड 117 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम(234; 351) = 117 2 3 = 702.

इसी प्रकार, 15 = 5 3; 20 = 5 4. गुणनखंड 3 और 4 सहअभाज्य हैं, और गुणनखंड 5 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम(15; 20) = 5 3 4 = 60।

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत सबसे कम सामान्य गुणक तक पहुंच गए, जो आम तौर पर बोलना, एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से, आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

ऐसा मत सोचो कि ये जटिल भिन्नवास्तविक उदाहरणों में नहीं होगा. वे हर समय मिलते रहते हैं, और उपरोक्त कार्य सीमा नहीं हैं!

एकमात्र समस्या यह है कि इस एनओसी को कैसे पाया जाए। कभी-कभी सब कुछ कुछ ही सेकंड में मिल जाता है, शाब्दिक रूप से "आंख से", लेकिन सामान्य तौर पर यह एक जटिल कम्प्यूटेशनल समस्या है जिस पर अलग से विचार करने की आवश्यकता होती है। यहां हम इस पर बात नहीं करेंगे.

यह सभी देखें:

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता क्यों है?

सामान्य विभाजक, अवधारणा और परिभाषा।

यहाँ केवल कुछ कारण हैं:

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्न तुलना. कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

सामान्य भाजक विधि

"थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हरों को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
इस तरह के विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
साथ ही, बड़े हर वाले भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं होती है - यही बचत है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

उदाहरण के लिए, हर 8 और 12 के लिए, संख्या 24 काफी उपयुक्त है, क्योंकि 24:8 = 3; 24: 12 = 2. यह संख्या 8 के गुणनफल 12 = 96 से बहुत कम है।

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (LCM) कहलाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत सबसे कम सामान्य गुणक तक पहुंच गए, जो आम तौर पर बोलना, एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से, आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

यह समझने के लिए कि कम से कम समापवर्त्य विधि कितनी जीत दिलाती है, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके समान उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें। बेशक, बिना कैलकुलेटर के। मुझे लगता है कि उसके बाद टिप्पणियाँ बेमानी हो जाएंगी।

यह मत सोचिए कि ऐसे जटिल भिन्न वास्तविक उदाहरणों में नहीं होंगे। वे हर समय मिलते रहते हैं, और उपरोक्त कार्य सीमा नहीं हैं!

यह सभी देखें:

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्न तुलना. कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

नज़र रखना:

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

सामान्य भाजक विधि

"थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हरों को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
इस तरह के विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
साथ ही, बड़े हर वाले भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं होती है - यही बचत है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (LCM) कहलाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत सबसे कम सामान्य गुणक तक पहुंच गए, जो आम तौर पर बोलना, एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से, आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।

यह सभी देखें:

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

विभिन्न हरों के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई अन्य तरीका नहीं है;
भिन्न तुलना. कभी-कभी एक सामान्य विभाजक को कम करने से यह कार्य बहुत सरल हो जाता है;
शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, सामान्य अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत अधिक गिनना पड़ता है, क्योंकि हर को "आगे" से गुणा किया जाता है, और परिणामस्वरूप, बहुत बड़ी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं।

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

यही विश्वसनीयता की कीमत है.

सामान्य भाजक विधि

"थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हरों को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
इस तरह के विभाजन से प्राप्त संख्या छोटे हर वाले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
साथ ही, बड़े हर वाले भिन्न को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं होती है - यही बचत है। साथ ही, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

प्रत्येक हर से विभाज्य सबसे छोटी संख्या उनका (LCM) कहलाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

आइए अब भिन्नों को सामान्य हरों पर लाएँ:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत सबसे कम सामान्य गुणक तक पहुंच गए, जो आम तौर पर बोलना, एक गैर-तुच्छ समस्या है;
परिणामी विस्तार से, आप पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "गायब" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 = 702, इसलिए, पहले भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है।