विभिन्न मीडिया सार में दोलन गति का प्रसार। वीडियो पाठ “एक माध्यम में दोलनों का प्रसार। अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें
हम आपके ध्यान में "दोलनों का प्रसार" विषय पर एक वीडियो पाठ प्रस्तुत करते हैं लोचदार माध्यम. अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें।" इस पाठ में हम लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार से संबंधित मुद्दों का अध्ययन करेंगे। आप सीखेंगे कि लहर क्या है, यह कैसे दिखाई देती है और इसकी विशेषता कैसे होती है। आइए अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों के बीच गुणों और अंतरों का अध्ययन करें।
हम तरंगों से संबंधित मुद्दों का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए इस बारे में बात करें कि लहर क्या है, यह कैसे प्रकट होती है और इसकी विशेषता कैसे होती है। यह पता चला है कि, अंतरिक्ष के एक संकीर्ण क्षेत्र में केवल एक दोलन प्रक्रिया के अलावा, इन दोलनों का एक माध्यम में प्रसार करना भी संभव है; यह वास्तव में यह प्रसार है जो तरंग गति है।
आइए इस वितरण पर चर्चा के लिए आगे बढ़ें। किसी माध्यम में दोलनों के अस्तित्व की संभावना पर चर्चा करने के लिए, हमें यह तय करना होगा कि सघन माध्यम क्या है। सघन माध्यम वह माध्यम है जिसमें शामिल होता है बड़ी संख्या मेंकण जिनकी परस्पर क्रिया लोचदार के बहुत करीब है। आइए निम्नलिखित विचार प्रयोग की कल्पना करें।
चावल। 1. विचार प्रयोग
आइए एक गेंद को एक लोचदार माध्यम में रखें। गेंद सिकुड़ेगी, आकार में घटेगी और फिर दिल की धड़कन की तरह फैल जाएगी। इस मामले में क्या देखा जाएगा? इस मामले में, जो कण इस गेंद से सटे हैं, वे अपनी गति को दोहराएंगे, अर्थात। दूर जाना, निकट आना - इस प्रकार वे दोलन करेंगे। चूंकि ये कण गेंद से अधिक दूर स्थित अन्य कणों के साथ संपर्क करते हैं, इसलिए वे भी दोलन करेंगे, लेकिन कुछ देरी से। इस गेंद के करीब आने वाले कण कंपन करते हैं। वे अधिक दूर स्थित अन्य कणों में संचारित हो जायेंगे। इस प्रकार, कंपन सभी दिशाओं में फैल जाएगा। कृपया ध्यान दें इस मामले मेंदोलन अवस्था प्रसारित होगी। दोलन की स्थिति के इस प्रसार को हम तरंग कहते हैं। ऐसा कहा जा सकता है की समय के साथ किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को यांत्रिक तरंग कहा जाता है।
कृपया ध्यान दें: जब हम ऐसे दोलनों के घटित होने की प्रक्रिया के बारे में बात करते हैं, तो हमें कहना होगा कि वे तभी संभव हैं जब कणों के बीच परस्पर क्रिया होती है। दूसरे शब्दों में, एक तरंग तभी अस्तित्व में रह सकती है जब कोई बाहरी अशांतकारी बल हो और ऐसी ताकतें हों जो विक्षोभ बल की कार्रवाई का विरोध करती हों। इस मामले में, ये लोचदार बल हैं। इस मामले में प्रसार प्रक्रिया किसी दिए गए माध्यम के कणों के बीच बातचीत के घनत्व और ताकत से संबंधित होगी।
आइए एक बात और नोट कर लें. तरंग पदार्थ का परिवहन नहीं करती. आख़िरकार, कण संतुलन स्थिति के निकट दोलन करते हैं। लेकिन साथ ही, तरंग ऊर्जा स्थानांतरित करती है। इस तथ्य को सुनामी लहरों से स्पष्ट किया जा सकता है। तरंग में पदार्थ नहीं चलता, बल्कि तरंग में इतनी ऊर्जा होती है कि वह बड़ी-बड़ी आपदाएँ लाती है।
आइए तरंग प्रकारों के बारे में बात करें। तरंगें दो प्रकार की होती हैं - अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें। क्या हुआ है अनुदैर्ध्य तरंगें? ये तरंगें सभी मीडिया में मौजूद हो सकती हैं। और घने माध्यम के अंदर एक स्पंदित गेंद का उदाहरण एक अनुदैर्ध्य तरंग के गठन का एक उदाहरण मात्र है। ऐसी तरंग समय के साथ अंतरिक्ष में प्रसार है। संघनन और विरलन का यह विकल्प एक अनुदैर्ध्य तरंग है। मैं एक बार फिर दोहराता हूं कि ऐसी लहर सभी माध्यमों में मौजूद हो सकती है - तरल, ठोस, गैसीय। अनुदैर्ध्य तरंग वह तरंग है जिसके प्रसार के कारण माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।
चावल। 2. अनुदैर्ध्य तरंग
जहाँ तक अनुप्रस्थ तरंग की बात है, तो अनुप्रस्थ तरंगमें ही अस्तित्व में रह सकता है एसएनएफऔर तरल की सतह पर. अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसके प्रसार के कारण माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
चावल। 3. अनुप्रस्थ तरंग
अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों के प्रसार की गति अलग-अलग होती है, लेकिन यह निम्नलिखित पाठों का विषय है।
अतिरिक्त साहित्य की सूची:
क्या आप तरंग की अवधारणा से परिचित हैं? // क्वांटम। - 1985. - नंबर 6। — पी. 32-33. भौतिकी: यांत्रिकी. 10वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। भौतिकी के गहन अध्ययन के लिए / एम.एम. बालाशोव, ए.आई. गोमोनोवा, ए.बी. डोलिट्स्की और अन्य; ईडी। जी.या. मयाकिशेवा। - एम.: बस्टर्ड, 2002। प्राथमिक भौतिकी पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.एस. लैंड्सबर्ग। टी. 3. - एम., 1974.
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स्लाइड कैप्शन:
पाठ विषय: लोचदार मीडिया में कंपन का प्रसार। लहर की
सघन माध्यम एक ऐसा माध्यम है जिसमें बड़ी संख्या में कण होते हैं जिनकी परस्पर क्रिया लोचदार के बहुत करीब होती है
समय के साथ किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को यांत्रिक तरंग कहा जाता है।
तरंग के घटित होने की शर्तें: 1. एक लोचदार माध्यम की उपस्थिति 2. दोलनों के स्रोत की उपस्थिति - माध्यम का विरूपण
यांत्रिक तरंगें केवल किसी माध्यम (पदार्थ) में ही फैल सकती हैं: गैस में, तरल में, ठोस में। निर्वात में यांत्रिक तरंग उत्पन्न नहीं हो सकती।
तरंगों का स्रोत दोलनशील पिंड हैं जो आसपास के स्थान में पर्यावरणीय विकृति पैदा करते हैं।
तरंगें अनुदैर्ध्य अनुप्रस्थ
अनुदैर्ध्य - तरंगें जिनमें प्रसार की दिशा में कंपन होता है। वे किसी भी वातावरण (तरल पदार्थ, गैस, ठोस) में होते हैं।
अनुप्रस्थ - जिसमें तरंग गति की दिशा के लंबवत कंपन होता है। केवल ठोस पदार्थों में होता है।
किसी द्रव की सतह पर तरंगें न तो अनुदैर्ध्य होती हैं और न ही अनुप्रस्थ। यदि आप एक छोटी सी गेंद को पानी की सतह पर फेंकते हैं, तो आप देख सकते हैं कि वह एक वृत्ताकार पथ पर लहरों पर लहराती हुई घूम रही है।
तरंग ऊर्जा एक यात्रा तरंग वह तरंग है जहां ऊर्जा स्थानांतरण पदार्थ स्थानांतरण के बिना होता है।
सुनामी लहरें. तरंग में पदार्थ नहीं चलता, बल्कि तरंग में इतनी ऊर्जा होती है कि वह बड़ी-बड़ी आपदाएँ लाती है।
विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स
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हम तरंगों से संबंधित मुद्दों का अध्ययन करने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए इस बारे में बात करें कि लहर क्या है, यह कैसे प्रकट होती है और इसकी विशेषता कैसे होती है। यह पता चला है कि, अंतरिक्ष के एक संकीर्ण क्षेत्र में केवल एक दोलन प्रक्रिया के अलावा, इन दोलनों का एक माध्यम में प्रसार करना भी संभव है; यह वास्तव में यह प्रसार है जो तरंग गति है।
आइए इस वितरण पर चर्चा के लिए आगे बढ़ें। किसी माध्यम में दोलनों के अस्तित्व की संभावना पर चर्चा करने के लिए, हमें यह तय करना होगा कि सघन माध्यम क्या है। सघन माध्यम एक ऐसा माध्यम है जिसमें बड़ी संख्या में कण होते हैं जिनकी परस्पर क्रिया लोचदार के बहुत करीब होती है। आइए निम्नलिखित विचार प्रयोग की कल्पना करें।
चावल। 1. विचार प्रयोग
आइए एक गेंद को एक लोचदार माध्यम में रखें। गेंद सिकुड़ेगी, आकार में घटेगी और फिर दिल की धड़कन की तरह फैल जाएगी। इस मामले में क्या देखा जाएगा? इस मामले में, जो कण इस गेंद से सटे हैं, वे अपनी गति को दोहराएंगे, अर्थात। दूर जाना, निकट आना - इस प्रकार वे दोलन करेंगे। चूंकि ये कण गेंद से अधिक दूर स्थित अन्य कणों के साथ संपर्क करते हैं, इसलिए वे भी दोलन करेंगे, लेकिन कुछ देरी से। इस गेंद के करीब आने वाले कण कंपन करते हैं। वे अधिक दूर स्थित अन्य कणों में संचारित हो जायेंगे। इस प्रकार, कंपन सभी दिशाओं में फैल जाएगा। कृपया ध्यान दें कि इस मामले में कंपन स्थिति फैल जाएगी। दोलन की स्थिति के इस प्रसार को हम तरंग कहते हैं। ऐसा कहा जा सकता है की समय के साथ किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को यांत्रिक तरंग कहा जाता है।
कृपया ध्यान दें: जब हम ऐसे दोलनों के घटित होने की प्रक्रिया के बारे में बात करते हैं, तो हमें कहना होगा कि वे तभी संभव हैं जब कणों के बीच परस्पर क्रिया होती है। दूसरे शब्दों में, एक तरंग तभी अस्तित्व में रह सकती है जब कोई बाहरी अशांतकारी बल हो और ऐसी ताकतें हों जो विक्षोभ बल की कार्रवाई का विरोध करती हों। इस मामले में, ये लोचदार बल हैं। इस मामले में प्रसार प्रक्रिया किसी दिए गए माध्यम के कणों के बीच बातचीत के घनत्व और ताकत से संबंधित होगी।
आइए एक बात और नोट कर लें. तरंग पदार्थ का परिवहन नहीं करती. आख़िरकार, कण संतुलन स्थिति के निकट दोलन करते हैं। लेकिन साथ ही, तरंग ऊर्जा स्थानांतरित करती है। इस तथ्य को सुनामी लहरों से स्पष्ट किया जा सकता है। तरंग में पदार्थ नहीं चलता, बल्कि तरंग में इतनी ऊर्जा होती है कि वह बड़ी-बड़ी आपदाएँ लाती है।
आइए तरंग प्रकारों के बारे में बात करें। तरंगें दो प्रकार की होती हैं - अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें। क्या हुआ है अनुदैर्ध्य तरंगें? ये तरंगें सभी मीडिया में मौजूद हो सकती हैं। और घने माध्यम के अंदर एक स्पंदित गेंद का उदाहरण एक अनुदैर्ध्य तरंग के गठन का एक उदाहरण मात्र है। ऐसी तरंग समय के साथ अंतरिक्ष में प्रसार है। संघनन और विरलन का यह विकल्प एक अनुदैर्ध्य तरंग है। मैं एक बार फिर दोहराता हूं कि ऐसी लहर सभी माध्यमों में मौजूद हो सकती है - तरल, ठोस, गैसीय। अनुदैर्ध्य तरंग वह तरंग है जिसके प्रसार के कारण माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।
चावल। 2. अनुदैर्ध्य तरंग
जहाँ तक अनुप्रस्थ तरंग की बात है, तो अनुप्रस्थ तरंगयह केवल ठोस पदार्थों और तरल पदार्थों की सतह पर ही मौजूद हो सकता है। अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसके प्रसार के कारण माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।
चावल। 3. अनुप्रस्थ तरंग
अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों के प्रसार की गति अलग-अलग होती है, लेकिन यह निम्नलिखित पाठों का विषय है।
अतिरिक्त साहित्य की सूची:
क्या आप तरंग की अवधारणा से परिचित हैं? // क्वांटम। - 1985. - नंबर 6। — पी. 32-33. भौतिकी: यांत्रिकी. 10वीं कक्षा: पाठ्यपुस्तक। भौतिकी के गहन अध्ययन के लिए / एम.एम. बालाशोव, ए.आई. गोमोनोवा, ए.बी. डोलिट्स्की और अन्य; ईडी। जी.या. मयाकिशेवा। - एम.: बस्टर्ड, 2002। प्राथमिक भौतिकी पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.एस. लैंड्सबर्ग। टी. 3. - एम., 1974.
पृष्ठ 1
किसी लोचदार माध्यम में कंपन के संचरण की प्रक्रिया को ध्वनि कहा जाता है।
अंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है। दोलन करने वाले कणों को उन कणों से अलग करने वाली सीमा, जिन्होंने अभी तक दोलन करना शुरू नहीं किया है, जल अग्रभाग कहलाती है। किसी माध्यम में तरंग प्रसार की विशेषता एक गति होती है जिसे अल्ट्रासोनिक तरंग गति कहा जाता है। एक ही प्रकार से (एक ही चरण में) कंपन करने वाले निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी को तरंग दैर्ध्य कहा जाता है। 1 सेकंड में किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या को अल्ट्रासाउंड आवृत्ति कहा जाता है।
किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग गति या लोचदार तरंग कहा जाता है।
समय के साथ अंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है। माध्यम के लोचदार गुणों के कारण फैलने वाली तरंगों को लोचदार कहा जाता है। लोचदार तरंगें अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य होती हैं।
किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है। यदि कंपन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा से मेल खाती है, तो ऐसी तरंग को अनुदैर्ध्य कहा जाता है, उदाहरण के लिए, हवा में ध्वनि तरंग। यदि कंपन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत हो तो ऐसी तरंग अनुप्रस्थ कहलाती है।
अंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग प्रक्रिया कहा जाता है।
अंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है।
किसी लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है। यदि कंपन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा से मेल खाती है, तो ऐसी तरंग को अनुदैर्ध्य कहा जाता है, उदाहरण के लिए, हवा में ध्वनि तरंग। यदि कंपन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत हो तो ऐसी तरंग अनुप्रस्थ कहलाती है।
किसी लोचदार माध्यम में कण कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग प्रक्रिया या केवल तरंग कहा जाता है।
किसी पाइप में तरल या गैस कणों के कंपन के प्रसार की प्रक्रिया इसकी दीवारों के प्रभाव से जटिल होती है। पाइप की दीवारों से तिरछे प्रतिबिंब रेडियल कंपन के गठन के लिए स्थितियां बनाते हैं। संकीर्ण पाइपों में तरल या गैस कणों के अक्षीय कंपन का अध्ययन करने का कार्य निर्धारित करने के बाद, हमें कई स्थितियों को ध्यान में रखना चाहिए जिनके तहत रेडियल कंपन की उपेक्षा की जा सकती है।
तरंग एक माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया है। माध्यम का प्रत्येक कण अपनी संतुलन स्थिति के चारों ओर दोलन करता है।
कंपन के प्रसार की प्रक्रिया को तरंग कहा जाता है।
एक लोचदार माध्यम में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया, जिस पर हमने विचार किया है, तरंग गति का एक उदाहरण है, या, जैसा कि वे आमतौर पर कहते हैं, तरंगें। तो, उदाहरण के लिए, यह पता चला है विद्युतचुम्बकीय तरंगें(देखें § 3.1) न केवल पदार्थ में, बल्कि निर्वात में भी प्रचारित हो सकता है। कहा गया गुरुत्वाकर्षण लहरों(गुरुत्वाकर्षण तरंगें), जिनकी सहायता से पिंडों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गड़बड़ी प्रसारित होती है, जो इन पिंडों के द्रव्यमान या अंतरिक्ष में उनकी स्थिति में परिवर्तन के कारण होती है। इसलिए, भौतिकी में, तरंगों को अंतरिक्ष में फैलने वाले पदार्थ या क्षेत्र की स्थिति में किसी भी गड़बड़ी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगेंगैसों या तरल पदार्थों में इन माध्यमों में फैलने वाले दबाव में उतार-चढ़ाव होते हैं, और विद्युत चुम्बकीय तरंगें अंतरिक्ष में फैलने वाले विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्तियों ई और एच में उतार-चढ़ाव होती हैं।
एक लोचदार माध्यम (ठोस, तरल या गैसीय) में फैलने वाले यांत्रिक कंपन को यांत्रिक या लोचदार कहा जाता है लहर की.
किसी सतत माध्यम में कंपन के संचरण की प्रक्रिया को तरंग प्रक्रिया या तरंग कहा जाता है। जिस माध्यम में तरंग फैलती है, उसके कण तरंग द्वारा स्थानांतरणीय गति में नहीं खींचे जाते हैं। वे केवल अपनी संतुलन स्थिति के आसपास ही दोलन करते हैं। तरंग के साथ, केवल दोलन गति की स्थिति और उसकी ऊर्जा माध्यम के एक कण से दूसरे कण में स्थानांतरित होती है। इसीलिए सभी तरंगों का मुख्य गुण, उनकी प्रकृति की परवाह किए बिना, पदार्थ के स्थानांतरण के बिना ऊर्जा का स्थानांतरण है.
के सापेक्ष कण कंपन की दिशा पर निर्भर करता है
जिस दिशा में लहर फैलती है, वहां हैं समर्थक-
लोबारऔर आड़ालहर की।
प्रत्यास्थ तरंग कहलाती है अनुदैर्ध्य, यदि माध्यम के कणों का कंपन तरंग प्रसार की दिशा में होता है। अनुदैर्ध्य तरंगें माध्यम के वॉल्यूमेट्रिक तन्य-संपीड़न विरूपण से जुड़ी होती हैं, इसलिए वे ठोस और ठोस दोनों में फैल सकती हैं।
तरल पदार्थ और गैसीय मीडिया में.
एक्सकतरनी विरूपण के अधीन. केवल ठोस पिंडों में ही यह गुण होता है।
λ चित्र में. 6.1.1 हार्मोनिक प्रस्तुत करता है
दोलनों के स्रोत की दूरी पर माध्यम के सभी कणों के विस्थापन की निर्भरता इस पलसमय। एक ही चरण में कंपन करने वाले निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी कहलाती है तरंग दैर्ध्य.तरंग दैर्ध्य उस दूरी के बराबर है जिस पर दोलन अवधि के दौरान दोलन का एक निश्चित चरण फैलता है
न केवल 0 अक्ष पर स्थित कण दोलन करते हैं एक्स, लेकिन एक निश्चित मात्रा में निहित कणों का एक संग्रह। उन बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति जिन तक समय के क्षण में दोलन पहुंचते हैं टी, बुलाया लहर सामने. तरंग मोर्चा वह सतह है जो तरंग प्रक्रिया में पहले से ही शामिल अंतरिक्ष के हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करती है जिसमें अभी तक दोलन उत्पन्न नहीं हुए हैं। एक ही चरण में दोलन करने वाले बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति कहलाती है तरंग सतह. तरंग सतह को तरंग प्रक्रिया द्वारा कवर किए गए स्थान में किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है। तरंग सतहें किसी भी आकार की हो सकती हैं। सरलतम मामलों में, उनका आकार एक समतल या गोले जैसा होता है। तदनुसार, इन मामलों में लहर को सपाट या गोलाकार कहा जाता है। एक समतल तरंग में, तरंग सतहें एक दूसरे के समानांतर समतलों का एक समूह होती हैं, और एक गोलाकार तरंग में वे संकेंद्रित क्षेत्रों का एक समूह होती हैं।
समतल तरंग समीकरण
समतल तरंग समीकरण एक अभिव्यक्ति है जो एक दोलनशील कण के विस्थापन को उसके निर्देशांक के फलन के रूप में देता है एक्स, य, जेडऔर समय टी
| एस=एस(एक्स,य,जेड,टी). | (6.2.1) |
यह फ़ंक्शन समय के संदर्भ में आवधिक होना चाहिए टी, और निर्देशांक के सापेक्ष एक्स, य, जेड. समय में आवधिकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि विस्थापन एसनिर्देशांक के साथ एक कण के कंपन का वर्णन करता है एक्स, य, जेड, और निर्देशांक में आवधिकता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि तरंग दैर्ध्य के बराबर दूरी पर एक दूसरे से दूरी पर स्थित बिंदु उसी तरह से कंपन करते हैं।
आइए मान लें कि दोलन प्रकृति में हार्मोनिक हैं, और अक्ष 0 है एक्सतरंग प्रसार की दिशा से मेल खाता है। तब तरंग सतहें 0 अक्ष के लंबवत होंगी एक्सऔर सब कुछ के बाद से
तरंग सतह के बिंदु समान रूप से दोलन करते हैं, विस्थापन एसकेवल समन्वय पर निर्भर करेगा एक्सऔर समय टी
आइए एक मनमाना मान के अनुरूप समतल में बिंदुओं के दोलन का प्रकार ज्ञात करें एक्स. हवाई जहाज़ से रास्ता तय करने के लिए एक्स= विमान के लिए 0 एक्स, तरंग को समय की आवश्यकता होती है τ = एक्स/v. नतीजतन, विमान में पड़े कणों का कंपन एक्स, तल में कण दोलनों से समय में τ का विलंब होगा एक्स= 0 और समीकरण द्वारा वर्णित है
| एस(एक्स;टी)=ए cosω( टी− τ)+ϕ | = एओल | ω टी − | एक्स | +ϕ | . (6.2.4) | |||||
| υ |
कहाँ ए− तरंग आयाम; ϕ 0 - तरंग का प्रारंभिक चरण (संदर्भ बिंदुओं की पसंद से निर्धारित होता है एक्सऔर टी).
आइए कुछ चरण मान तय करें ω( टी − एक्सυ) +ϕ 0 = स्थिरांक।
यह अभिव्यक्ति समय के बीच संबंध को परिभाषित करती है टीऔर वह जगह एक्स, जिसमें चरण का एक निश्चित मान होता है। इस अभिव्यक्ति को विभेदित करने पर हम पाते हैं
आइए हम समतल तरंग समीकरण को एक सममित सापेक्ष दें
कठोरता से एक्सऔर टीदेखना। ऐसा करने के लिए, हम मात्रा का परिचय देते हैं क= 2 λ π, जिसे कहा जाता है
हाँ तरंग संख्या, जिसे फॉर्म में दर्शाया जा सकता है
हमने मान लिया कि दोलनों का आयाम निर्भर नहीं करता एक्स. समतल तरंग के लिए, यह उस स्थिति में देखा जाता है जब तरंग ऊर्जा माध्यम द्वारा अवशोषित नहीं होती है। ऊर्जा-अवशोषित माध्यम में प्रसार करते समय, तरंग की तीव्रता दोलन के स्रोत से दूरी के साथ धीरे-धीरे कम हो जाती है, अर्थात, तरंग क्षीणन देखा जाता है। एक सजातीय माध्यम में, ऐसा क्षीणन तेजी से होता है
कानून ए = ए 0 इ −β एक्स. फिर अवशोषित माध्यम के लिए समतल तरंग समीकरण का रूप होता है
कहाँ आरआर - त्रिज्या वेक्टर, तरंग बिंदु; क = क ⋅एनआर − तरंग सदिश; एन r तरंग सतह के अभिलम्ब का इकाई सदिश है।
तरंग सदिश− तरंग संख्या के परिमाण के बराबर एक सदिश है कऔर तरंग सतह पर सामान्य की दिशा होने पर-
| बुलाया। | |||
| आइए किसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से उसके निर्देशांक की ओर बढ़ें एक्स, य, जेड | |||
| आर | आर | (6.3.2) | |
| क | ⋅आर=के एक्स एक्स+के वाई वाई+क z z. | ||
| फिर समीकरण (6.3.1) का रूप ले लेगा | |||
| एस(एक्स,य,जेड;टी)=एक्योंकि(ω टी−के एक्स एक्स−के वाई वाई−क z z+ϕ 0). | (6.3.3) |
आइए तरंग समीकरण का स्वरूप स्थापित करें। ऐसा करने के लिए, हम निर्देशांक और समय, अभिव्यक्ति (6.3.3) के संबंध में दूसरा आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं
| ∂ 2 एस | आर | आर | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂टी | = −ω एओल | (ω टी − क ⋅ आर | +ϕ 0) = −ω एस; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 एस | आर | आर | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂एक्स | = − के एक्स एक्योंकि(ω टी − क | ⋅आर | +ϕ 0) = − के एक्स एस | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | (6.3.4) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 एस | आर | आर | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂य | = − के वाई एओल | (ω टी − क ⋅ आर | +ϕ 0) = − के वाई एस; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 एस | आर | आर | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂जेड | = − के जेड एक्योंकि(ω टी − क | ⋅आर | +ϕ 0) = − के जेड एस | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| निर्देशांक के संबंध में व्युत्पन्न जोड़ना, और व्युत्पन्न को ध्यान में रखना | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| समय के साथ, हम पाते हैं | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ | 2 | 2 | ∂ | 2 | ∂ | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| एस 2 | + ∂ | एस 2 | + | एस 2 | = − (के एक्स 2 + के वाई 2 + के ज़ेड 2)एस | = − क 2 एस = | क | एस 2 . | (6.3.5) | ||||||||||||||||||||||||||||
| ∂टी | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂एक्स | ∂य | ∂जेड | ω | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| हम प्रतिस्थापन करेंगे | क | = | ω 2 | = | और हमें तरंग समीकरण प्राप्त होता है | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ω | υ | ω | υ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 एस | + | ∂ 2 एस | + | ∂ 2 एस | = | 1 ∂ 2 एस | या | एस= | 1 ∂ 2 एस | , | (6.3.6) | ||||||||||||||||||||||||||
| ∂एक्स 2 | ∂य 2 | ∂जेड 2 | υ 2 ∂ टी 2 | υ 2 ∂ टी 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| कहाँ = | ∂ 2 | + | ∂ 2 | + | ∂ 2 | − लाप्लास ऑपरेटर. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂एक्स 2 | ∂य 2 | ∂जेड 2 |
