विद्युत चुम्बकीय दोलनों का वर्णन करने वाले समीकरण। दोलन परिपथ. एक दोलन परिपथ में मुक्त, अवमंदित, मजबूर दोलन। थॉमसन का सूत्र. अवमंदन कमी, लघुगणक अवमंदन कमी, गुणवत्ता कारक, दोलन में अनुनाद

मुख्य उपकरण जो किसी भी प्रत्यावर्ती धारा जनरेटर की ऑपरेटिंग आवृत्ति निर्धारित करता है वह ऑसिलेटिंग सर्किट है। ऑसिलेटरी सर्किट (चित्र 1) में एक प्रारंभ करनेवाला होता है एल(आदर्श स्थिति पर विचार करें जब कुंडल में कोई ओमिक प्रतिरोध नहीं है) और एक संधारित्र सीऔर बंद कहा जाता है. किसी कुण्डली की विशेषता प्रेरकत्व है, इसे निर्दिष्ट किया गया है एलऔर हेनरी (एच) में मापा जाता है, संधारित्र की विशेषता धारिता है सी, जिसे फैराड (एफ) में मापा जाता है।

मान लीजिए समय के आरंभिक क्षण में संधारित्र को इस प्रकार आवेशित किया जाता है (चित्र 1) कि उसकी एक प्लेट पर आवेश हो + क्यू 0, और दूसरे पर - चार्ज - क्यू 0 . इस स्थिति में, संधारित्र की प्लेटों के बीच ऊर्जा वाला एक विद्युत क्षेत्र बनता है

संधारित्र प्लेटों में आयाम (अधिकतम) वोल्टेज या संभावित अंतर कहां है।

सर्किट बंद करने के बाद, कैपेसिटर डिस्चार्ज होना शुरू हो जाता है और सर्किट से होकर गुजरता है बिजली(चित्र 2), जिसका मान शून्य से अधिकतम मान तक बढ़ता है। चूँकि परिपथ में प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित होती है, कुंडली में धारा प्रेरित होती है। स्व-प्रेरित ईएमएफ, जो संधारित्र को डिस्चार्ज होने से रोकता है। इसलिए, संधारित्र को डिस्चार्ज करने की प्रक्रिया तुरंत नहीं, बल्कि धीरे-धीरे होती है। समय के प्रत्येक क्षण में, संधारित्र प्लेटों में संभावित अंतर

(संधारित्र आवेश कहाँ है? इस पलसमय) कुंडली के पार संभावित अंतर के बराबर है, अर्थात स्व-प्रेरण ईएमएफ के बराबर

चित्र .1	अंक 2

जब संधारित्र पूरी तरह से डिस्चार्ज हो जाता है, तो कुंडल में धारा अपने अधिकतम मूल्य (छवि 3) तक पहुंच जाएगी। प्रेरण चुंबकीय क्षेत्रइस समय कुंडल भी अधिकतम है, और चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा बराबर होगी

फिर करंट कम होने लगता है, और चार्ज कैपेसिटर प्लेटों पर जमा हो जाएगा (चित्र 4)। जब धारा शून्य हो जाती है, तो संधारित्र आवेश अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है क्यू 0, लेकिन प्लेट, जो पहले धनात्मक रूप से आवेशित थी, अब ऋणात्मक रूप से आवेशित होगी (चित्र 5)। फिर संधारित्र फिर से डिस्चार्ज होना शुरू हो जाता है, और सर्किट में धारा विपरीत दिशा में प्रवाहित होती है।

अतः प्रेरक के माध्यम से एक संधारित्र प्लेट से दूसरे में प्रवाहित होने वाले आवेश की प्रक्रिया बार-बार दोहराई जाती है। वे कहते हैं कि सर्किट में हैं विद्युत चुम्बकीय कंपन. यह प्रक्रिया न केवल संधारित्र पर आवेश और वोल्टेज की मात्रा में उतार-चढ़ाव, कुंडल में वर्तमान ताकत से जुड़ी है, बल्कि ऊर्जा के पंपिंग से भी जुड़ी है। विद्युत क्षेत्रचुंबकीय और वापस करने के लिए.

चित्र 3	चित्र.4

कैपेसिटर को अधिकतम वोल्टेज पर रिचार्ज करना तभी होगा जब ऑसिलेटिंग सर्किट में कोई ऊर्जा हानि नहीं होगी। ऐसी रूपरेखा आदर्श कहलाती है।

वास्तविक सर्किट में निम्नलिखित ऊर्जा हानि होती है:

1) गर्मी का नुकसान, क्योंकि आर ¹ 0;

2) संधारित्र के ढांकता हुआ में हानि;

3) कुंडल कोर में हिस्टैरिसीस हानि;

4) विकिरण हानियाँ, आदि। यदि हम इन ऊर्जा हानियों की उपेक्षा करते हैं, तो हम उसे लिख सकते हैं, अर्थात्।

एक आदर्श दोलन परिपथ में होने वाले दोलन जिसमें यह स्थिति पूरी होती है, कहलाते हैं मुक्त, या अपना, सर्किट कंपन।

इस मामले में वोल्टेज यू(और चार्ज करें क्यू) संधारित्र पर हार्मोनिक कानून के अनुसार परिवर्तन होता है:

जहां n ऑसिलेटरी सर्किट की प्राकृतिक आवृत्ति है, w 0 = 2pn ऑसिलेटरी सर्किट की प्राकृतिक (गोलाकार) आवृत्ति है। सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों की आवृत्ति को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

अवधि टी- वह समय जिसके दौरान संधारित्र पर वोल्टेज और सर्किट में करंट का एक पूर्ण दोलन होता है, निर्धारित किया जाता है थॉमसन का सूत्र

सर्किट में वर्तमान ताकत भी हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती है, लेकिन चरण में वोल्टेज से पीछे रहती है। इसलिए, समय पर सर्किट में वर्तमान ताकत की निर्भरता का रूप होगा

. (9)

चित्र 6 वोल्टेज परिवर्तन के ग्राफ़ दिखाता है यूसंधारित्र और वर्तमान पर मैंएक आदर्श दोलन सर्किट के लिए कुंडल में।

एक वास्तविक सर्किट में, प्रत्येक दोलन के साथ ऊर्जा कम हो जाएगी। संधारित्र पर वोल्टेज का आयाम और सर्किट में धारा कम हो जाएगी; ऐसे दोलनों को नम कहा जाता है। इनका उपयोग मास्टर ऑसिलेटर में नहीं किया जा सकता, क्योंकि डिवाइस काम करेगा बेहतरीन परिदृश्यपल्स मोड में.

चित्र.5	चित्र 6

अविभाजित दोलन प्राप्त करने के लिए, चिकित्सा में उपयोग किए जाने वाले उपकरणों सहित विभिन्न प्रकार के उपकरणों की ऑपरेटिंग आवृत्तियों पर ऊर्जा हानि की भरपाई करना आवश्यक है।

1. ऑसिलेटरी सर्किट।

2 ऑसिलेटरी सर्किट समीकरण

3. परिपथ में मुक्त कंपन

4. परिपथ में मुक्त अवमंदित दोलन

5. जबरन विद्युत दोलन.

6. एक श्रृंखला सर्किट में अनुनाद

7. समानांतर परिपथ में अनुनाद

8. प्रत्यावर्ती धारा

1.5.1. दोलन परिपथ.

आइए जानें कि विद्युत दोलन कैसे उत्पन्न होते हैं और एक दोलन सर्किट में बनाए रखे जाते हैं।

पहले चलो संधारित्र की ऊपरी प्लेट धनावेशित होती है ,और निचला वाला नकारात्मक है(चित्र 11.1, ए)।

इस मामले में, ऑसिलेटरी सर्किट की सारी ऊर्जा संधारित्र में केंद्रित होती है।

आइए कुंजी बंद करें को..संधारित्र डिस्चार्ज होना शुरू हो जाएगा, और कुंडल के माध्यम से एल धारा प्रवाहित होगी. संधारित्र की विद्युत ऊर्जा कुंडल की चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित होने लगेगी। यह प्रक्रिया तब समाप्त हो जाएगी जब संधारित्र पूरी तरह से डिस्चार्ज हो जाएगा और सर्किट में करंट अपने अधिकतम तक पहुंच जाएगा (चित्र 11.1)। बी)।

इस क्षण से धारा, दिशा बदले बिना, कम होने लगेगी। हालाँकि, यह तुरंत नहीं रुकेगा - इसे ई द्वारा समर्थित किया जाएगा। डी.एस. स्वप्रेरण. करंट संधारित्र को रिचार्ज करेगा, और एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होगा, जो करंट को कमजोर कर देगा। अंत में, करंट रुक जाएगा और संधारित्र पर चार्ज अपनी अधिकतम सीमा तक पहुंच जाएगा।

इस क्षण से संधारित्र फिर से डिस्चार्ज होना शुरू हो जाएगा, धारा विपरीत दिशा में प्रवाहित होगी, आदि - प्रक्रिया दोहराई जाएगी

सर्किट में प्रतिरोध के अभाव मेंकंडक्टरों का कार्य किया जाएगा कड़ाई से आवधिक दोलन. प्रक्रिया के दौरान, संधारित्र की प्लेटों पर चार्ज, उसके पार वोल्टेज और कुंडल के माध्यम से धारा समय-समय पर बदलती रहती है।

दोलन विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की ऊर्जा के पारस्परिक परिवर्तनों के साथ होते हैं।

यदि चालकों का प्रतिरोध
, तो वर्णित प्रक्रिया के अलावा, विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का जूल ताप में रूपांतरण होगा।

सर्किट कंडक्टर प्रतिरोधआर आमतौर पर कहा जाता हैसक्रिय प्रतिरोध.

1.5.2. ऑसिलेटरी सर्किट समीकरण

आइए हम श्रृंखला से जुड़े संधारित्र वाले सर्किट में दोलनों का समीकरण खोजें साथ,प्रारंभ करनेवाला एल, सक्रिय प्रतिरोध आर और बाह्य चर ई. डी.एस. (चित्र 1.5.1)।

आइए चुनेंसर्किट को पार करने की सकारात्मक दिशा, उदाहरण के लिए दक्षिणावर्त।

चलो निरूपित करेंके माध्यम से क्यू संधारित्र की उस प्लेट का आवेश, जिस दिशा से दूसरी प्लेट तक जाता है, वह सर्किट को बायपास करने की चयनित सकारात्मक दिशा से मेल खाता है।

फिर सर्किट में करंट इस प्रकार निर्धारित किया जाता है
(1)

इसलिए, यदि मैं > ओह, यह बात है डीक्यू > 0, और इसके विपरीत (चिह्न) मैंचिन्ह से मेल खाता है डीक्यू).

सर्किट के एक भाग के लिए ओम के नियम के अनुसार 1 आर.एल.2

. (2),

कहाँ - उह. डी.एस. स्वप्रेरण.

हमारे मामले में

(संकेत क्यू अंतर के चिह्न से मेल खाना चाहिए
, क्योंकि सी > 0).

इसलिए, समीकरण (2) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है

या (1) को ध्यान में रखते हुए

यह वही है दोलन सर्किट समीकरण - स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का रैखिक अंतर अमानवीय समीकरण। इस समीकरण से ज्ञात करना क्यू(टी), हम संधारित्र पर वोल्टेज की गणना आसानी से कर सकते हैं
और वर्तमान ताकत I- सूत्र (1) के अनुसार।

ऑसिलेटरी सर्किट के समीकरण को एक अलग रूप दिया जा सकता है:

(5)

जहां नोटेशन पेश किया गया है

. (6)

आकार - बुलाया प्राकृतिक आवृत्तिसमोच्च,

β - क्षीणन गुणांक.

यदि ξ = 0, तो दोलन आमतौर पर कहलाते हैं मुक्त।

- पर आर = ओह वे करेंगे अविरल,

- पर आर ≠0 - नम।

पाठ संख्या 48-169 ऑसिलेटरी सर्किट। मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलन. एक दोलन परिपथ में ऊर्जा का रूपांतरण। थॉम्पसन का सूत्र.दोलनों- गतियाँ या स्थितियाँ जो समय के साथ दोहराई जाती हैं।विद्युत चुम्बकीय कंपन -ये विद्युत कंपन हैं औरचुंबकीय क्षेत्र जो प्रतिरोध करते हैंआवधिक बेवफाई से प्रेरितचार्ज, करंट और वोल्टेज। ऑसिलेटरी सर्किट एक प्रणाली है जिसमें एक प्रारंभ करनेवाला और एक संधारित्र होता है(चित्र ए)। यदि संधारित्र को चार्ज किया जाता है और कॉइल से शॉर्ट किया जाता है, तो कॉइल के माध्यम से करंट प्रवाहित होगा (चित्र बी)। जब संधारित्र को डिस्चार्ज किया जाता है, तो कॉइल में स्व-प्रेरण के कारण सर्किट में करंट नहीं रुकेगा। लेन्ज़ के नियम के अनुसार प्रेरण धारा, उसी दिशा में प्रवाहित होगी और संधारित्र को रिचार्ज करेगी (चित्र सी)। में वर्तमान इस दिशा मेंरुक जाएगा और प्रक्रिया विपरीत दिशा में दोहराई जाएगी (चित्र)। जी)।

इस प्रकार, उतार-चढ़ाव मेंमूल का टेलनी समोच्चविद्युत चुम्बकीय दोलनऊर्जा रूपांतरण के कारण एन.आई.एविद्युत क्षेत्र संघननआरए(डब्ल्यू ई =
) धारा के साथ एक कुंडल के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा में(डब्ल्यू एम =
), और इसके विपरीत.

हार्मोनिक दोलन समय के आधार पर किसी भौतिक मात्रा में होने वाले आवधिक परिवर्तन हैं, जो साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होते हैं।

मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलनों का वर्णन करने वाला समीकरण रूप लेता है

q"= - ω 0 2 q (q" दूसरा अवकलज है।

मुख्य लक्षण दोलन गति:

दोलन की अवधि T की न्यूनतम अवधि है जिसके बाद प्रक्रिया पूरी तरह से दोहराई जाती है।

हार्मोनिक दोलनों का आयाम - मापांक उच्चतम मूल्यउतार-चढ़ाव वाला आकार.

अवधि को जानकर, आप दोलनों की आवृत्ति निर्धारित कर सकते हैं, अर्थात समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या, उदाहरण के लिए प्रति सेकंड। यदि समय T में एक दोलन होता है, तो 1 s ν में दोलनों की संख्या निम्नानुसार निर्धारित की जाती है: ν = 1/टी.

याद रखें कि इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स (एसआई) में, 1 सेकंड में एक दोलन होने पर दोलन की आवृत्ति एक के बराबर होती है। आवृत्ति की इकाई को जर्मन भौतिक विज्ञानी हेनरिक हर्ट्ज़ के नाम पर हर्ट्ज़ (संक्षिप्त रूप में: हर्ट्ज़) कहा जाता है।

अवधि के बराबर समय की अवधि के बाद टी,यानी, जब कोज्या तर्क ω से बढ़ जाता है 0 टी,चार्ज मान दोहराया जाता है और कोसाइन अपने पिछले मान पर ले जाता है। गणित पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि कोसाइन की सबसे छोटी अवधि 2n है। इसलिए, ω 0 टी=2π,कहाँ से ω 0 = =2πν इस प्रकार, मान ω 0 - यह दोलनों की संख्या है, लेकिन 1 सेकेंड में नहीं, बल्कि 2 सेकेंड में। यह कहा जाता है चक्रीयया गोलाकार आवृत्ति.

मुक्त दोलनों की आवृत्ति कहलाती है प्राकृतिक कंपन आवृत्तिसिस्टम.अक्सर निम्नलिखित में, संक्षिप्तता के लिए, हम केवल चक्रीय आवृत्ति को आवृत्ति के रूप में संदर्भित करेंगे। चक्रीय आवृत्ति को भेदें ω 0 आवृत्ति से ν का उपयोग अंकन के अनुसार किया जा सकता है।

एक यांत्रिक दोलन प्रणाली के लिए अंतर समीकरण के समाधान के अनुरूप मुफ़्त बिजली की चक्रीय आवृत्तिआकाश में उतार-चढ़ावके बराबर है:ω 0 =

परिपथ में मुक्त दोलन की अवधि बराबर है: T= =2π
- थॉमसन का सूत्र.

दोलनों का चरण (ग्रीक शब्द फासिस से - उपस्थिति, किसी घटना के विकास का चरण) φ का मान है, जो कोसाइन या साइन के चिह्न के नीचे खड़ा है। चरण को कोणीय इकाइयों - रेडियन में व्यक्त किया जाता है। चरण, किसी दिए गए आयाम के लिए, किसी भी समय दोलन प्रणाली की स्थिति निर्धारित करता है।

समान आयाम और आवृत्तियों वाले दोलन चरणों में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

चूँकि ω 0 = , तो φ= ω 0 Т=2π. अनुपात दर्शाता है कि दोलन शुरू होने के बाद से कितनी अवधि बीत चुकी है। किसी अवधि के अंशों में व्यक्त कोई भी समय मान रेडियन में व्यक्त चरण मान से मेल खाता है। तो, समय के बाद t= (तिमाही अवधि) φ= , आधी अवधि के बाद φ = π, पूरी अवधि के बाद φ = 2π, आदि। आप निर्भरता का आलेख बना सकते हैं

चार्ज समय पर नहीं, बल्कि चरण पर निर्भर करता है। चित्र पिछले वाले के समान ही कोसाइन तरंग दिखाता है, लेकिन क्षैतिज अक्ष पर उन्हें समय के बजाय प्लॉट किया गया है

विभिन्न अर्थचरण φ.

यांत्रिक और के बीच मिलान विद्युत मात्रादोलन प्रक्रियाओं में

यांत्रिक मात्राएँ

942(932). ऑसिलेटरी सर्किट के कैपेसिटर को दिया गया प्रारंभिक चार्ज 2 गुना कम हो गया था। कितनी बार हुआ: ए) वोल्टेज आयाम में परिवर्तन; बी) वर्तमान आयाम;

ग) संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और कुंडल के चुंबकीय क्षेत्र की कुल ऊर्जा?

943(933). ऑसिलेटरी सर्किट के कैपेसिटर पर वोल्टेज में 20 V की वृद्धि के साथ, करंट का आयाम 2 गुना बढ़ गया। प्रारंभिक वोल्टेज ज्ञात करें.

945(935). ऑसिलेटरी सर्किट में C = 400 pF क्षमता वाला एक संधारित्र और एक प्रेरक कुंडल होता हैएल = 10 एमएच. धारा दोलन I का आयाम ज्ञात कीजिए टी , यदि वोल्टेज उतार-चढ़ाव का आयाम यू टी = 500 वी.

952(942). किस समय के बाद (अवधि के अंशों में)टी/टी) पहली बार दोलन सर्किट के संधारित्र पर आयाम मान के आधे के बराबर चार्ज होगा?

957(947). 50 पीएफ के कैपेसिटर कैपेसिटेंस के साथ 10 मेगाहर्ट्ज की मुक्त ऑसीलेशन आवृत्ति प्राप्त करने के लिए ऑसिलेटरी सर्किट में किस इंडक्शन कॉइल को शामिल किया जाना चाहिए?

दोलन परिपथ. मुक्त दोलनों की अवधि.

1. ऑसिलेटिंग सर्किट के कैपेसिटर को चार्ज देने के बादक्यू = 10 -5 सी, सर्किट में नम दोलन उत्पन्न हुए। जब परिपथ में दोलन पूरी तरह समाप्त हो जाएंगे तब तक परिपथ में कितनी ऊष्मा उत्सर्जित होगी? संधारित्र C की धारिता = 0.01 μF.

2. ऑसिलेटिंग सर्किट में 400 nF की क्षमता वाला एक संधारित्र और 9 μH के अधिष्ठापन के साथ एक कुंडल होता है। परिपथ के प्राकृतिक दोलन की अवधि क्या है?

3. 100 पीएफ की धारिता के साथ 2∙ 10 -6 s की प्राकृतिक दोलन अवधि प्राप्त करने के लिए ऑसिलेटरी सर्किट में किस प्रेरकत्व को शामिल किया जाना चाहिए।

4. स्प्रिंग कठोरता की तुलना करेंक्रमशः 200 ग्राम और 400 ग्राम भार द्रव्यमान वाले दो पेंडुलम के k1/k2, यदि उनके दोलन की अवधि बराबर है।

5. एक स्प्रिंग पर लटके स्थिर भार की क्रिया के तहत इसकी लम्बाई 6.4 सेमी के बराबर थी। फिर वजन को पीछे खींचकर छोड़ दिया गया, जिसके परिणामस्वरूप वह दोलन करने लगा। इन दोलनों की अवधि निर्धारित करें।

6. एक भार को स्प्रिंग से लटकाया गया, उसकी संतुलन स्थिति से बाहर लाया गया और छोड़ दिया गया। भार 0.5 एस की अवधि के साथ दोलन करना शुरू कर दिया। दोलन रुकने के बाद स्प्रिंग का बढ़ाव निर्धारित करें। वसंत के द्रव्यमान पर ध्यान न दें.

परीक्षा प्रश्न:

1. निम्नलिखित में से कौन सा अभिव्यक्ति एक दोलन सर्किट में मुक्त दोलन की अवधि निर्धारित करता है? एक।; बी।
; में।
; जी।
; डी. 2 .

2. निम्नलिखित में से कौन सा अभिव्यक्ति एक दोलन सर्किट में मुक्त दोलनों की चक्रीय आवृत्ति निर्धारित करता है? ए.बी.
में।
जी।
डी. 2π

3. यह चित्र समय के फलन के रूप में x अक्ष के अनुदिश हार्मोनिक दोलन करते हुए एक पिंड के X निर्देशांक का एक ग्राफ दिखाता है। शरीर के कंपन की अवधि क्या है?

4. चित्र एक निश्चित समय पर तरंग प्रोफ़ाइल को दर्शाता है। इसकी लंबाई कितनी है?

5. यह आंकड़ा ऑसिलेटिंग सर्किट कॉइल बनाम समय के माध्यम से वर्तमान का एक ग्राफ दिखाता है। वर्तमान दोलन की अवधि क्या है? ए. 0.4 एस. बी. 0.3 एस. वी. 0.2 एस. जी. 0.1 एस.

D. उत्तर A-D में कोई सही उत्तर नहीं है।

A. 0.2 मी. B. 0.4 मी. C. 4 मी. D. 8 मी. D. 12 मी.

7. दोलन परिपथ में विद्युत दोलन समीकरण द्वारा दिए गए हैं q =10 -2 ∙ cos 20t (Cl).

आवेश दोलनों का आयाम क्या है?

ए । 10 -2 सीएल. B.cos 20t सीएल. बी.20टी सीएल. जी.20 सीएल. D. A-D उत्तरों में से कोई भी सही नहीं है।

8. OX अक्ष के साथ हार्मोनिक कंपन के दौरान, शरीर का समन्वय कानून के अनुसार बदलता है X=0.2cos(5t+ ). शरीर के कंपन का आयाम क्या है?

ए एक्सएम; बी. 0.2 मीटर; वी. сos(5t+) मी; (5टी+)एम; डी.एम

9. तरंग स्रोत की दोलन आवृत्ति 0.2 s -1 तरंग प्रसार गति 10 m/s है। तरंग दैर्ध्य क्या है? A. 0.02 मीटर B. 2 मीटर C. 50 मीटर

D. समस्या की स्थितियों के अनुसार तरंग दैर्ध्य निर्धारित करना असंभव है। D. उत्तर A-D में कोई सही उत्तर नहीं है।

10. तरंग लंबाई 40 मीटर, प्रसार गति 20 मीटर/सेकेंड। तरंग स्रोत की दोलन आवृत्ति क्या है?

ए. 0.5 एस -1। बी. 2 एस -1 . वी. 800 एस -1 .

डी. समस्या की स्थितियों के अनुसार, तरंग स्रोत की दोलन आवृत्ति निर्धारित करना असंभव है।

D. उत्तर A-D में कोई सही उत्तर नहीं है।

3

एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विद्युत आवेशों या धाराओं की अनुपस्थिति में मौजूद हो सकता है: यह वास्तव में ये "आत्मनिर्भर" विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं जो बनाते हैं विद्युतचुम्बकीय तरंगें, जिसमें दृश्य प्रकाश, अवरक्त, पराबैंगनी और एक्स-रे विकिरण, रेडियो तरंगें आदि शामिल हैं।

§ 25. ऑसिलेटरी सर्किट

सबसे सरल प्रणाली जिसमें प्राकृतिक विद्युत चुम्बकीय दोलन संभव हैं, तथाकथित दोलन सर्किट है, जिसमें एक संधारित्र और एक प्रारंभ करनेवाला एक दूसरे से जुड़े होते हैं (चित्र 157)। एक यांत्रिक थरथरानवाला की तरह, उदाहरण के लिए एक लोचदार स्प्रिंग पर एक विशाल पिंड, सर्किट में प्राकृतिक दोलन ऊर्जा परिवर्तनों के साथ होते हैं।

चावल। 157. ऑसिलेटरी सर्किट

यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय कंपन के बीच सादृश्य।एक दोलन सर्किट के लिए, एक यांत्रिक थरथरानवाला की संभावित ऊर्जा का एक एनालॉग (उदाहरण के लिए, एक विकृत स्प्रिंग की लोचदार ऊर्जा) एक संधारित्र में विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा है। किसी गतिमान पिंड की गतिज ऊर्जा का एक एनालॉग प्रारंभ करनेवाला में चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा है। वास्तव में, स्प्रिंग की ऊर्जा संतुलन स्थिति से विस्थापन के वर्ग के समानुपाती होती है और संधारित्र की ऊर्जा आवेश के वर्ग के समानुपाती होती है। किसी पिंड की गतिज ऊर्जा उसकी गति के वर्ग के समानुपाती होती है और कुंडली में चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा धारा के वर्ग के समानुपाती होती है।

स्प्रिंग ऑसिलेटर ई की कुल यांत्रिक ऊर्जा संभावित और गतिज ऊर्जा के योग के बराबर है:

कंपन की ऊर्जा.इसी प्रकार, ऑसिलेटरी सर्किट की कुल विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा संधारित्र में विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा और कुंडल में चुंबकीय क्षेत्र के योग के बराबर है:

सूत्रों (1) और (2) की तुलना से यह पता चलता है कि एक ऑसिलेटरी सर्किट में स्प्रिंग ऑसिलेटर की कठोरता k का एनालॉग कैपेसिटेंस सी का व्युत्क्रम है, और द्रव्यमान का एनालॉग कॉइल का प्रेरण है

आइए याद रखें कि एक यांत्रिक प्रणाली में, जिसकी ऊर्जा अभिव्यक्ति (1) द्वारा दी गई है, उसके स्वयं के अविभाजित हार्मोनिक दोलन हो सकते हैं। ऐसे दोलनों की आवृत्ति का वर्ग ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति में विस्थापन और गति के वर्गों के गुणांक के अनुपात के बराबर है:

प्राकृतिक आवृत्ति।एक दोलन सर्किट में, जिसकी विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा अभिव्यक्ति (2) द्वारा दी गई है, इसके स्वयं के अविभाजित हार्मोनिक दोलन हो सकते हैं, जिसकी आवृत्ति का वर्ग भी, जाहिर है, संबंधित गुणांक के अनुपात के बराबर है (यानी, आवेश और धारा के वर्गों के गुणांक):

(4) से दोलन अवधि के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है, जिसे थॉमसन का सूत्र कहा जाता है:

यांत्रिक दोलनों के दौरान, समय पर विस्थापन x की निर्भरता कोसाइन फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसके तर्क को दोलन चरण कहा जाता है:

आयाम और प्रारंभिक चरण.आयाम ए और प्रारंभिक चरण ए प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं, अर्थात, विस्थापन और वेग के मान

इसी प्रकार, सर्किट में विद्युत चुम्बकीय प्राकृतिक दोलनों के साथ, संधारित्र का चार्ज कानून के अनुसार समय पर निर्भर करता है

जहां आवृत्ति निर्धारित की जाती है, (4) के अनुसार, केवल सर्किट के गुणों द्वारा, और चार्ज दोलनों का आयाम और प्रारंभिक चरण ए, एक यांत्रिक थरथरानवाला की तरह, निर्धारित किया जाता है

प्रारंभिक स्थितियाँ, अर्थात्, संधारित्र आवेश और वर्तमान शक्ति का मान इस प्रकार, प्राकृतिक आवृत्ति दोलनों के उत्तेजना की विधि पर निर्भर नहीं करती है, जबकि आयाम और प्रारंभिक चरण उत्तेजना स्थितियों द्वारा सटीक रूप से निर्धारित होते हैं।

ऊर्जा परिवर्तन.आइए यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तनों पर अधिक विस्तार से विचार करें। चित्र में. 158 एक चौथाई अवधि के समय अंतराल पर यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय दोलक की स्थिति को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है

चावल। 158. यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तन

दोलन अवधि के दौरान दो बार, ऊर्जा एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित होती है और फिर वापस आती है। ऑसिलेटरी सर्किट की कुल ऊर्जा भी कुल ऊर्जायांत्रिक थरथरानवाला, अपव्यय की अनुपस्थिति में अपरिवर्तित रहता है। इसे सत्यापित करने के लिए, आपको सूत्र (2) में धारा के स्थान पर अभिव्यक्ति (6) और धारा के स्थान पर अभिव्यक्ति की आवश्यकता होगी।

हम प्राप्त करने के लिए सूत्र (4) का उपयोग करते हैं

चावल। 159. संधारित्र को चार्ज करने के समय संधारित्र के विद्युत क्षेत्र की ऊर्जा और कुंडल में चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा की निर्भरता के ग्राफ

स्थिर कुल ऊर्जा उन क्षणों में संभावित ऊर्जा के साथ मेल खाती है जब संधारित्र पर चार्ज अधिकतम होता है, और कुंडल के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा के साथ मेल खाता है - "गतिज" ऊर्जा - उन क्षणों में जब संधारित्र पर चार्ज हो जाता है शून्य और धारा अधिकतम है। पारस्परिक परिवर्तनों के दौरान, दो प्रकार की ऊर्जा एक ही आयाम के साथ, एक दूसरे के साथ चरण से बाहर और उनके औसत मूल्य के सापेक्ष आवृत्ति के साथ हार्मोनिक कंपन करती है। इसे चित्र से आसानी से देखा जा सकता है। 158, और सूत्रों का उपयोग करना त्रिकोणमितीय कार्यआधा तर्क:

संधारित्र के चार्जिंग समय पर विद्युत क्षेत्र ऊर्जा और चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा की निर्भरता के ग्राफ़ चित्र में दिखाए गए हैं। शुरुआती चरण के लिए 159

प्राकृतिक विद्युत चुम्बकीय दोलनों के मात्रात्मक नियम यांत्रिक दोलनों के साथ सादृश्य का सहारा लिए बिना, अर्ध-स्थिर धाराओं के नियमों के आधार पर सीधे स्थापित किए जा सकते हैं।

एक सर्किट में दोलनों के लिए समीकरण.आइए चित्र में दिखाए गए सबसे सरल ऑसिलेटरी सर्किट पर विचार करें। 157. सर्किट के चारों ओर घूमते समय, उदाहरण के लिए, वामावर्त, ऐसे बंद श्रृंखला सर्किट में प्रारंभ करनेवाला और संधारित्र पर वोल्टेज का योग शून्य है:

संधारित्र पर वोल्टेज प्लेट के चार्ज और कैपेसिटेंस से संबंधित है, समय के किसी भी क्षण में अधिष्ठापन में वोल्टेज परिमाण में बराबर होता है और स्व-प्रेरक ईएमएफ के संकेत के विपरीत होता है, इसलिए सर्किट में करंट होता है गति के बराबरसंधारित्र आवेश में परिवर्तन: प्रारंभ करनेवाला के पार वोल्टेज के लिए अभिव्यक्ति में धारा को प्रतिस्थापित करना और समय के संबंध में संधारित्र आवेश के दूसरे व्युत्पन्न को निरूपित करना

हम अब अभिव्यक्ति (10) का रूप लेते हैं

आइए परिभाषा के अनुसार परिचय देते हुए इस समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

समीकरण (12) एक प्राकृतिक आवृत्ति के साथ एक यांत्रिक थरथरानवाला के हार्मोनिक दोलनों के समीकरण के साथ मेल खाता है। ऐसे समीकरण का समाधान एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) समय फ़ंक्शन (6) द्वारा आयाम और प्रारंभिक चरण के मनमाने मूल्यों के साथ दिया जाता है एक। इसका तात्पर्य सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों से संबंधित उपरोक्त सभी परिणामों से है।

विद्युत चुम्बकीय दोलनों का क्षीणन।अब तक, एक आदर्श यांत्रिक प्रणाली और एक आदर्श एलसी सर्किट में प्राकृतिक कंपन पर चर्चा की गई है। आदर्शीकरण में थरथरानवाला में घर्षण और सर्किट में विद्युत प्रतिरोध की उपेक्षा शामिल थी। केवल इस मामले में प्रणाली रूढ़िवादी होगी और दोलन ऊर्जा संरक्षित रहेगी।

चावल। 160. प्रतिरोध के साथ दोलन सर्किट

सर्किट में दोलन ऊर्जा के अपव्यय को उसी तरह से ध्यान में रखा जा सकता है जैसे घर्षण के साथ एक यांत्रिक थरथरानवाला के मामले में किया गया था। उपलब्धता विद्युतीय प्रतिरोधकॉइल और कनेक्टिंग तार अनिवार्य रूप से जूल गर्मी की रिहाई से जुड़े हैं। पहले की तरह, इस प्रतिरोध को कॉइल और तारों को आदर्श मानते हुए, ऑसिलेटरी सर्किट के विद्युत सर्किट में एक स्वतंत्र तत्व के रूप में माना जा सकता है (चित्र 160)। ऐसे सर्किट में अर्ध-स्थिर धारा पर विचार करते समय, प्रतिरोध में वोल्टेज को समीकरण (10) में जोड़ना आवश्यक है

में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

पदनामों का परिचय

हम समीकरण (14) को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

समीकरण (16) का रूप बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि जब एक यांत्रिक थरथरानवाला दोलन करता है

गति के समानुपाती घर्षण (चिपचिपा घर्षण)। इसलिए, सर्किट में विद्युत प्रतिरोध की उपस्थिति में, विद्युत चुम्बकीय दोलन चिपचिपा घर्षण के साथ एक थरथरानवाला के यांत्रिक दोलनों के समान कानून के अनुसार होते हैं।

कंपन ऊर्जा का अपव्यय.यांत्रिक कंपनों की तरह, जारी गर्मी की गणना के लिए जूल-लेनज़ नियम को लागू करके समय के साथ प्राकृतिक कंपन की ऊर्जा में कमी का नियम स्थापित करना संभव है:

परिणामस्वरूप, समय अंतराल के लिए छोटे क्षीणन के मामले में, कई लंबा अरसादोलन, दोलन ऊर्जा में कमी की दर स्वयं ऊर्जा के समानुपाती होती है:

समीकरण (18) का हल इस प्रकार है

प्रतिरोध वाले सर्किट में प्राकृतिक विद्युत चुम्बकीय दोलनों की ऊर्जा एक घातीय नियम के अनुसार घट जाती है।

दोलनों की ऊर्जा उनके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। विद्युत चुम्बकीय दोलनों के लिए, उदाहरण के लिए, (8) से यह निम्नानुसार है। इसलिए, (19) के अनुसार, नम दोलनों का आयाम, कानून के अनुसार घट जाता है

दोलनों का जीवनकाल.जैसा कि (20) से देखा जा सकता है, दोलनों का आयाम, आयाम के प्रारंभिक मूल्य की परवाह किए बिना, बराबर समय के एक कारक से घट जाता है। इस बार x को दोलनों का जीवनकाल कहा जाता है, हालाँकि, जैसा कि देखा जा सकता है (20) से, दोलन औपचारिक रूप से अनिश्चित काल तक जारी रहते हैं। वास्तव में, निश्चित रूप से, दोलनों के बारे में बात करना तभी तक समझ में आता है जब तक कि उनका आयाम किसी दिए गए सर्किट में थर्मल शोर के स्तर के विशिष्ट मूल्य से अधिक न हो जाए। इसलिए, वास्तव में, सर्किट में दोलन एक सीमित समय के लिए "जीवित" रहते हैं, जो, हालांकि, ऊपर प्रस्तुत जीवनकाल x से कई गुना अधिक हो सकता है।

अक्सर यह जानना महत्वपूर्ण है कि दोलन x का जीवनकाल नहीं, बल्कि इस समय x के दौरान सर्किट में होने वाले पूर्ण दोलनों की संख्या जानना महत्वपूर्ण है। इस संख्या को गुणा करने पर सर्किट गुणवत्ता कारक कहा जाता है।

कड़ाई से कहें तो, अवमंदित दोलन आवधिक नहीं होते हैं। कम क्षीणन के साथ, हम सशर्त रूप से एक अवधि की बात कर सकते हैं, जिसे दो के बीच के समय अंतराल के रूप में समझा जाता है

संधारित्र आवेश के क्रमिक अधिकतम मान (समान ध्रुवता), या अधिकतम वर्तमान मान (एक दिशा)।

दोलनों का अवमंदन अवधि को प्रभावित करता है, जिससे अवमंदन न होने के आदर्शीकृत मामले की तुलना में यह बढ़ जाता है। कम अवमंदन के साथ, दोलन अवधि में वृद्धि बहुत कम होती है। हालाँकि, मजबूत क्षीणन के साथ, कोई भी दोलन नहीं हो सकता है: चार्ज किया गया संधारित्र समय-समय पर डिस्चार्ज हो जाएगा, यानी, सर्किट में करंट की दिशा को बदले बिना। ऐसा कब यानी कब होगा

सटीक समाधान. ऊपर तैयार किए गए नम दोलनों के पैटर्न अंतर समीकरण (16) के सटीक समाधान का अनुसरण करते हैं। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा हम सत्यापित कर सकते हैं कि इसका स्वरूप है

मनमाना स्थिरांक कहां हैं, जिनके मान प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। कम अवमंदन पर, कोसाइन गुणक को दोलनों के धीरे-धीरे बदलते आयाम के रूप में माना जा सकता है।

काम

एक प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से कैपेसिटर को रिचार्ज करना। सर्किट में, जिसका आरेख चित्र में दिखाया गया है। 161, ऊपरी संधारित्र का चार्ज बराबर है और निचले वाले का चार्ज नहीं है। फिलहाल चाबी बंद है. ऊपरी संधारित्र के चार्जिंग समय और कुंडल में धारा की निर्भरता ज्ञात कीजिए।

चावल। 161. समय के आरंभिक क्षण में केवल एक संधारित्र आवेशित होता है

चावल। 162. कुंजी बंद करने के बाद सर्किट में कैपेसिटर और करंट का चार्ज

चावल। 163. चित्र में दिखाए गए विद्युत परिपथ के लिए यांत्रिक सादृश्य। 162

समाधान। कुंजी बंद होने के बाद, सर्किट में दोलन होते हैं: ऊपरी संधारित्र कॉइल के माध्यम से डिस्चार्ज होना शुरू हो जाता है, जबकि निचले संधारित्र को चार्ज किया जाता है; तब सब कुछ विपरीत दिशा में घटित होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि संधारित्र की ऊपरी प्लेट धनात्मक रूप से आवेशित है। तब

थोड़े समय के बाद, संधारित्र प्लेटों के आवेश के संकेत और धारा की दिशा चित्र में दिखाए अनुसार होगी। 162. आइए हम ऊपरी और निचले कैपेसिटर की उन प्लेटों के आवेशों को निरूपित करें जो एक प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। विद्युत आवेश के संरक्षण के नियम पर आधारित

समय के प्रत्येक क्षण में बंद लूप के सभी तत्वों पर वोल्टेज का योग शून्य है:

संधारित्र पर वोल्टेज का चिह्न चित्र में दिए गए चार्ज वितरण से मेल खाता है। 162. और धारा की संकेतित दिशा। कुंडल के माध्यम से धारा की अभिव्यक्ति दो रूपों में से किसी एक में लिखी जा सकती है:

आइए हम संबंधों (22) और (24) का उपयोग करके समीकरण से बाहर करें:

पदनामों का परिचय

आइए (25) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें:

यदि फ़ंक्शन में प्रवेश करने के बजाय

और ध्यान रखें कि तब (27) रूप लेता है

यह अवमंदित हार्मोनिक दोलनों का सामान्य समीकरण है, जिसका समाधान है

जहां और मनमाना स्थिरांक हैं।

फ़ंक्शन से लौटने पर, हमें ऊपरी संधारित्र के चार्जिंग समय की निर्भरता के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

स्थिरांक और ए निर्धारित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रारंभिक क्षण में चार्ज और करंट (24) और (31) से वर्तमान ताकत के लिए हमारे पास है

चूँकि यह इस प्रकार है कि अब प्रतिस्थापित करने और ध्यान में रखने पर हमें प्राप्त होता है

तो, आवेश और धारा के भावों का रूप होता है

आवेश की प्रकृति और धारा दोलन तब विशेष रूप से स्पष्ट होते हैं समान मूल्यसंधारित्र क्षमता. इस मामले में

ऊपरी संधारित्र का आवेश आधे से अधिक दोलन अवधि के बराबर औसत मान के आसपास एक आयाम के साथ दोलन करता है, यह प्रारंभिक क्षण में अधिकतम मान से घटकर शून्य हो जाता है, जब सारा आवेश निचले संधारित्र पर होता है।

दोलन आवृत्ति के लिए अभिव्यक्ति (26), निश्चित रूप से, तुरंत लिखी जा सकती है, क्योंकि विचाराधीन सर्किट में कैपेसिटर श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। हालाँकि, अभिव्यक्ति (34) को सीधे लिखना मुश्किल है, क्योंकि ऐसी प्रारंभिक स्थितियों में सर्किट में शामिल कैपेसिटर को एक समकक्ष कैपेसिटर से बदलना असंभव है।

यहां होने वाली प्रक्रियाओं का एक दृश्य प्रतिनिधित्व इस विद्युत सर्किट के यांत्रिक एनालॉग द्वारा दिया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 163. समान क्षमता के कैपेसिटर के मामले में समान स्प्रिंग्स अनुरूप होते हैं। प्रारंभिक क्षण में, बायाँ स्प्रिंग संपीड़ित होता है, जो एक आवेशित संधारित्र से मेल खाता है, और दायाँ एक अविकसित अवस्था में होता है, क्योंकि यहाँ संधारित्र आवेश का एनालॉग स्प्रिंग के विरूपण की डिग्री है। मध्य स्थिति से गुजरते समय, दोनों स्प्रिंग्स आंशिक रूप से संपीड़ित होते हैं, और चरम दाहिनी स्थिति में बायां स्प्रिंग विकृत नहीं होता है, और दायां स्प्रिंग प्रारंभिक क्षण में बाएं स्प्रिंग की तरह ही संपीड़ित होता है, जो पूर्ण प्रवाह से मेल खाता है। एक संधारित्र से दूसरे संधारित्र तक आवेश का। यद्यपि गेंद अपनी संतुलन स्थिति के आसपास सामान्य हार्मोनिक दोलनों से गुजरती है, प्रत्येक स्प्रिंग की विकृति का वर्णन एक फ़ंक्शन द्वारा किया जाता है जिसका औसत मान गैर-शून्य है।

एक संधारित्र के साथ एक दोलन सर्किट के विपरीत, जहां दोलनों के दौरान इसे बार-बार रिचार्ज किया जाता है, विचाराधीन प्रणाली में प्रारंभिक रूप से चार्ज किए गए संधारित्र को पूरी तरह से रिचार्ज नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, जब इसका चार्ज शून्य कर दिया जाता है, और फिर उसी ध्रुवता पर बहाल कर दिया जाता है। अन्यथा, ये दोलन पारंपरिक सर्किट में हार्मोनिक दोलनों से भिन्न नहीं होते हैं। इन दोलनों की ऊर्जा संरक्षित है, यदि, निश्चित रूप से, कुंडल और कनेक्टिंग तारों के प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है।

बताएं कि क्यों, यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा के लिए सूत्र (1) और (2) की तुलना से, यह निष्कर्ष निकाला गया कि कठोरता का एनालॉग k है और द्रव्यमान का एनालॉग प्रेरकत्व है और इसके विपरीत नहीं।

एक यांत्रिक स्प्रिंग ऑसिलेटर के अनुरूप सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए अभिव्यक्ति (4) प्राप्त करने के लिए एक तर्क प्रदान करें।

एक सर्किट में हार्मोनिक दोलनों को आयाम, आवृत्ति, अवधि, दोलन चरण और प्रारंभिक चरण की विशेषता होती है। इनमें से कौन सी मात्राएं ऑसिलेटरी सर्किट के गुणों से निर्धारित होती हैं, और कौन सी दोलनों के उत्तेजना की विधि पर निर्भर करती हैं?

सिद्ध करें कि सर्किट में प्राकृतिक दोलनों के दौरान विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा का औसत मूल्य एक दूसरे के बराबर होता है और दोलनों की कुल विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का आधा हिस्सा बनता है।

सर्किट में हार्मोनिक दोलनों के अंतर समीकरण (12) को प्राप्त करने के लिए विद्युत सर्किट में अर्ध-स्थिर घटना के नियमों को कैसे लागू करें?

कौन अंतर समीकरणक्या एलसी सर्किट में करंट संतुष्ट करता है?

कम अवमंदन पर दोलन ऊर्जा में कमी की दर के लिए एक समीकरण प्राप्त करें, जैसा कि गति के आनुपातिक घर्षण के साथ एक यांत्रिक थरथरानवाला के लिए किया गया था, और दिखाएं कि दोलन अवधि से काफी अधिक समय अंतराल के लिए, यह कमी एक के अनुसार होती है घातीय कानून. यहाँ प्रयुक्त शब्द "कम क्षीणन" का क्या अर्थ है?

दिखाएँ कि सूत्र (21) द्वारा दिया गया फ़ंक्शन और ए के किसी भी मान के लिए समीकरण (16) को संतुष्ट करता है।

चित्र में दर्शाई गई यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें। 163, और बाएँ स्प्रिंग के विरूपण के समय और विशाल पिंड की गति पर निर्भरता ज्ञात कीजिए।

अपरिहार्य नुकसान के साथ प्रतिरोध रहित एक सर्किट।ऊपर चर्चा की गई समस्या में, कैपेसिटर पर चार्ज के लिए पूरी तरह से सामान्य प्रारंभिक स्थितियां नहीं होने के बावजूद, विद्युत सर्किट के लिए सामान्य समीकरण लागू करना संभव था, क्योंकि अर्ध-स्थिर प्रक्रियाओं की शर्तें वहां पूरी की गई थीं। लेकिन सर्किट में, जिसका आरेख चित्र में दिखाया गया है। 164, चित्र में दिए गए आरेख से औपचारिक बाह्य समानता के साथ। 162, यदि प्रारंभिक क्षण में एक संधारित्र चार्ज किया जाता है और दूसरा नहीं, तो अर्ध-स्थिर स्थितियाँ संतुष्ट नहीं होती हैं।

आइए उन कारणों पर अधिक विस्तार से चर्चा करें कि यहां अर्ध-स्थिरता की शर्तों का उल्लंघन क्यों किया जाता है। बंद करने के तुरंत बाद

चावल। 164. विद्युत सर्किट जिसके लिए अर्ध-स्थिर शर्तें पूरी नहीं होती हैं

कुंजी, सभी प्रक्रियाएं केवल एक-दूसरे से जुड़े कैपेसिटर में होती हैं, क्योंकि प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से वर्तमान में वृद्धि अपेक्षाकृत धीरे-धीरे होती है और सबसे पहले कॉइल में वर्तमान की शाखा को उपेक्षित किया जा सकता है।

जब कुंजी बंद होती है, तो कैपेसिटर और उन्हें जोड़ने वाले तारों वाले सर्किट में तेजी से नम दोलन होते हैं। ऐसे दोलनों की अवधि बहुत कम होती है, क्योंकि कनेक्टिंग तारों का प्रेरण कम होता है। इन दोलनों के परिणामस्वरूप, संधारित्र प्लेटों पर आवेश का पुनर्वितरण होता है, जिसके बाद दोनों संधारित्रों को एक माना जा सकता है। लेकिन ऐसा पहले क्षण में नहीं किया जा सकता, क्योंकि आवेशों के पुनर्वितरण के साथ-साथ ऊर्जा का भी पुनर्वितरण होता है, जिसका कुछ भाग ऊष्मा में बदल जाता है।

तेज़ दोलनों के क्षय के बाद, सिस्टम में दोलन होते हैं, जैसे एक संधारित्र वाले सर्किट में, जिसका प्रारंभिक क्षण में चार्ज संधारित्र के प्रारंभिक चार्ज के बराबर होता है। उपरोक्त तर्क की वैधता की शर्त लघुता है कुंडल के प्रेरकत्व की तुलना में कनेक्टिंग तारों के प्रेरकत्व की तुलना में।

जैसा कि विचार की गई समस्या में है, यहां एक यांत्रिक सादृश्य खोजना उपयोगी है। यदि कैपेसिटर के अनुरूप दो स्प्रिंग्स किसी विशाल पिंड के दोनों किनारों पर स्थित थे, तो यहां उन्हें इसके एक तरफ स्थित होना चाहिए, ताकि शरीर के स्थिर होने पर उनमें से एक के कंपन को दूसरे तक प्रेषित किया जा सके। दो स्प्रिंग्स के बजाय, आप एक ले सकते हैं, लेकिन केवल शुरुआती क्षण में इसे असमान रूप से विकृत किया जाना चाहिए।

आइए स्प्रिंग को बीच से पकड़ें और उसके बाएँ आधे भाग को एक निश्चित दूरी तक फैलाएँ। स्प्रिंग का दूसरा भाग विकृत अवस्था में रहेगा, ताकि प्रारंभिक क्षण में भार संतुलन स्थिति से दाईं ओर कुछ दूरी पर विस्थापित हो जाए और आराम पर है. फिर स्प्रिंग को छोड़ें. इस तथ्य से क्या विशेषताएँ उत्पन्न होंगी कि प्रारंभिक क्षण में स्प्रिंग असमान रूप से विकृत हो जाती है? क्योंकि, जैसा कि कल्पना करना मुश्किल नहीं है, स्प्रिंग के "आधे" की कठोरता बराबर है यदि स्प्रिंग का द्रव्यमान गेंद के द्रव्यमान की तुलना में छोटा है, तो एक विस्तारित प्रणाली के रूप में स्प्रिंग के प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति है स्प्रिंग पर गेंद के दोलन की आवृत्ति से कहीं अधिक। ये "तेज़" दोलन ऐसे समय में समाप्त हो जाएंगे जो गेंद के दोलन की अवधि का एक छोटा सा अंश है। तेज़ दोलनों के क्षीण होने के बाद, स्प्रिंग में तनाव पुनर्वितरित हो जाता है, और भार का विस्थापन व्यावहारिक रूप से बराबर रहता है क्योंकि इस दौरान भार के पास ध्यान देने योग्य गति करने का समय नहीं होता है। स्प्रिंग का विरूपण एक समान हो जाता है, और सिस्टम की ऊर्जा बराबर हो जाती है

इस प्रकार, स्प्रिंग के तीव्र दोलनों की भूमिका इस तथ्य तक कम हो गई कि सिस्टम का ऊर्जा आरक्षित उस मूल्य तक कम हो गया जो स्प्रिंग के समान प्रारंभिक विरूपण से मेल खाता है। यह स्पष्ट है कि सिस्टम में आगे की प्रक्रियाएँ समान प्रारंभिक विरूपण के मामले से भिन्न नहीं होती हैं। समय पर भार के विस्थापन की निर्भरता उसी सूत्र (36) द्वारा व्यक्त की जाती है।

विचारित उदाहरण में, तीव्र कंपन के परिणामस्वरूप, यांत्रिक ऊर्जा की प्रारंभिक आपूर्ति का आधा हिस्सा आंतरिक ऊर्जा (गर्मी) में परिवर्तित हो गया। यह स्पष्ट है कि आधे नहीं, बल्कि स्प्रिंग के एक मनमाने हिस्से को प्रारंभिक विरूपण के अधीन करके, यांत्रिक ऊर्जा की प्रारंभिक आपूर्ति के किसी भी अंश को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित करना संभव है। लेकिन सभी मामलों में, स्प्रिंग पर भार की दोलन ऊर्जा स्प्रिंग के समान समान प्रारंभिक विरूपण के लिए ऊर्जा आरक्षित से मेल खाती है।

एक विद्युत सर्किट में, नम तेज दोलनों के परिणामस्वरूप, चार्ज किए गए संधारित्र की ऊर्जा आंशिक रूप से कनेक्टिंग तारों में जूल गर्मी के रूप में जारी होती है। समान क्षमताओं के साथ, यह प्रारंभिक ऊर्जा आरक्षित का आधा होगा। दूसरा भाग एक सर्किट में अपेक्षाकृत धीमी विद्युत चुम्बकीय दोलनों की ऊर्जा के रूप में रहता है जिसमें एक कुंडल और समानांतर में जुड़े दो कैपेसिटर सी होते हैं, और

इस प्रकार, इस प्रणाली में, आदर्शीकरण जिसमें दोलन ऊर्जा के अपव्यय की उपेक्षा की जाती है, मौलिक रूप से अस्वीकार्य है। इसका कारण यह है कि समान यांत्रिक प्रणाली में प्रारंभकर्ता या विशाल पिंड को प्रभावित किए बिना तीव्र दोलन संभव हैं।

अरेखीय तत्वों के साथ दोलन सर्किट।यांत्रिक कंपनों का अध्ययन करते समय, हमने देखा कि कंपन हमेशा हार्मोनिक नहीं होते हैं। हार्मोनिक कंपन एक विशिष्ट गुण है रैखिक प्रणाली, जिसमें

पुनर्स्थापना बल संतुलन स्थिति से विचलन के समानुपाती होता है, और संभावित ऊर्जा विचलन के वर्ग के समानुपाती होती है। वास्तविक यांत्रिक प्रणालियों में, एक नियम के रूप में, ये गुण नहीं होते हैं, और उनमें होने वाले कंपन को केवल संतुलन स्थिति से छोटे विचलन के लिए हार्मोनिक माना जा सकता है।

किसी सर्किट में विद्युत चुम्बकीय दोलनों के मामले में, ऐसा लग सकता है कि हम इससे निपट रहे हैं आदर्श प्रणालियाँ, जिसमें कंपन पूर्णतः हार्मोनिक होते हैं। हालाँकि, यह तभी तक सत्य है जब तक संधारित्र की धारिता और कुंडल के प्रेरकत्व को स्थिर माना जा सकता है, अर्थात चार्ज और करंट से स्वतंत्र। ढांकता हुआ एक संधारित्र और एक कोर के साथ एक कुंडल, कड़ाई से बोलते हुए, गैर-रेखीय तत्व हैं। जब एक संधारित्र फेरोइलेक्ट्रिक से भरा होता है, अर्थात, एक ऐसा पदार्थ जिसका ढांकता हुआ स्थिरांक दृढ़ता से लागू विद्युत क्षेत्र पर निर्भर करता है, तो संधारित्र की धारिता को स्थिर नहीं माना जा सकता है। इसी प्रकार, फेरोमैग्नेटिक कोर वाले कॉइल का प्रेरकत्व वर्तमान ताकत पर निर्भर करता है, क्योंकि फेरोमैग्नेट में चुंबकीय संतृप्ति का गुण होता है।

यदि यांत्रिक दोलन प्रणालियों में, द्रव्यमान को, एक नियम के रूप में, स्थिर माना जा सकता है और गैर-रैखिक प्रकृति के कारण ही गैर-रैखिकता उत्पन्न होती है अभिनय बल, तो एक विद्युत चुम्बकीय दोलन सर्किट में, गैर-रैखिकता एक संधारित्र (एक लोचदार स्प्रिंग के अनुरूप) और एक प्रारंभ करनेवाला (एक द्रव्यमान के अनुरूप) दोनों के कारण उत्पन्न हो सकती है।

आदर्शीकरण जिसमें सिस्टम को रूढ़िवादी माना जाता है वह दो समानांतर कैपेसिटर वाले ऑसिलेटरी सर्किट के लिए लागू क्यों नहीं होता है (चित्र 164)?

चित्र में दिखाए गए सर्किट में तीव्र दोलनों के कारण दोलन ऊर्जा का अपव्यय क्यों हो रहा है? 164, चित्र में दिखाए गए दो श्रृंखला कैपेसिटर वाले सर्किट में नहीं हुआ। 162?

सर्किट में गैर-साइनसॉइडल विद्युत चुम्बकीय दोलन किन कारणों से हो सकते हैं?

मुक्त विद्युत चुम्बकीय दोलन ये संधारित्र पर आवेश, कुंडल में धारा, साथ ही दोलन सर्किट में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र में आवधिक परिवर्तन हैं जो आंतरिक बलों के प्रभाव में होते हैं।

निरंतर विद्युत चुम्बकीय दोलन

विद्युत चुम्बकीय दोलनों को उत्तेजित करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है दोलन सर्किट , जिसमें श्रृंखला में जुड़ा एक प्रारंभ करनेवाला L और धारिता C वाला एक संधारित्र शामिल है (चित्र 17.1)।

आइए एक आदर्श सर्किट पर विचार करें, यानी एक सर्किट जिसका ओमिक प्रतिरोध शून्य (R=0) है। इस सर्किट में दोलनों को उत्तेजित करने के लिए, या तो संधारित्र प्लेटों को एक निश्चित चार्ज देना आवश्यक है, या प्रारंभ करनेवाला में करंट को उत्तेजित करना आवश्यक है। मान लीजिए समय के प्रारंभिक क्षण में संधारित्र को संभावित अंतर यू (छवि (चित्र 17.2, ए)) पर चार्ज किया जाता है, इसलिए, इसमें संभावित ऊर्जा होती है
.इस समय, कुंडली I में धारा = 0 है . ऑसिलेटरी सर्किट की यह स्थिति गणितीय पेंडुलम की स्थिति के समान है, जो कोण α द्वारा विक्षेपित होती है (चित्र 17.3, ए)। इस समय, कुंडली में धारा I=0 है। चार्ज किए गए कैपेसिटर को कॉइल से जोड़ने के बाद, कैपेसिटर पर चार्ज द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में, सर्किट में मुक्त इलेक्ट्रॉन कैपेसिटर के नकारात्मक चार्ज प्लेट से सकारात्मक चार्ज वाले प्लेट में जाना शुरू कर देंगे। संधारित्र डिस्चार्ज होना शुरू हो जाएगा, और सर्किट में बढ़ती धारा दिखाई देगी। इस धारा का प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत भंवर उत्पन्न करेगा। यह विद्युत क्षेत्र धारा के विपरीत निर्देशित होगा और इसलिए इसे तुरंत अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचने की अनुमति नहीं देगा। धारा धीरे-धीरे बढ़ेगी। जब सर्किट में बल अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है, तो संधारित्र पर चार्ज और प्लेटों के बीच वोल्टेज शून्य हो जाता है। यह अवधि t = π/4 के एक चौथाई के बाद होगा। उसी समय, ऊर्जा ई विद्युत क्षेत्र चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता हैW e =1/2C U 2 0. इस समय, संधारित्र की धनावेशित प्लेट पर इतने सारे इलेक्ट्रॉन स्थानांतरित हो जाएंगे कि उनका ऋणात्मक आवेश वहां मौजूद आयनों के धनात्मक आवेश को पूरी तरह से निष्क्रिय कर देगा। सर्किट में करंट कम होना शुरू हो जाएगा और इससे बनने वाले चुंबकीय क्षेत्र का प्रेरण कम होना शुरू हो जाएगा। बदलता चुंबकीय क्षेत्र फिर से एक विद्युत भंवर उत्पन्न करेगा, जो इस बार धारा के समान दिशा में निर्देशित होगा। इस क्षेत्र द्वारा समर्थित धारा उसी दिशा में प्रवाहित होगी और धीरे-धीरे संधारित्र को रिचार्ज करेगी। हालाँकि, जैसे ही संधारित्र पर चार्ज जमा होता है, इसका अपना विद्युत क्षेत्र तेजी से इलेक्ट्रॉनों की गति को बाधित करेगा, और सर्किट में वर्तमान ताकत कम और कम हो जाएगी। जब करंट शून्य हो जाता है, तो संधारित्र पूरी तरह से ओवरचार्ज हो जाएगा।

सिस्टम की स्थिति चित्र में दिखाई गई है। 17.2 और 17.3, समय में क्रमिक क्षणों के अनुरूप हैं टी = 0; ;;और टी।

सर्किट में उत्पन्न होने वाला स्व-प्रेरक ईएमएफ संधारित्र प्लेटों पर वोल्टेज के बराबर है: ε = यू

और

विश्वास
, हम पाते हैं

(17.1)

सूत्र (17.1) यांत्रिकी में माने जाने वाले हार्मोनिक कंपन के अंतर समीकरण के समान है; उसका निर्णय होगा

q = q अधिकतम पाप(ω 0 t+φ 0) (17.2)

जहां q मैक्स संधारित्र प्लेटों पर सबसे बड़ा (प्रारंभिक) चार्ज है, ω 0 सर्किट के प्राकृतिक दोलनों की परिपत्र आवृत्ति है, φ 0 प्रारंभिक चरण है।

स्वीकृत संकेतन के अनुसार,
कहाँ

(17.3)

अभिव्यक्ति (17.3) कहलाती है थॉमसन का सूत्र और दिखाता है कि जब R=0, सर्किट में उत्पन्न होने वाले विद्युत चुम्बकीय दोलनों की अवधि केवल प्रेरकत्व L और धारिता C के मानों से निर्धारित होती है।

हार्मोनिक नियम के अनुसार, न केवल संधारित्र प्लेटों पर चार्ज बदलता है, बल्कि सर्किट में वोल्टेज और करंट भी बदलता है:

जहां U m और I m वोल्टेज और करंट के आयाम हैं।

अभिव्यक्तियों (17.2), (17.4), (17.5) से यह निष्कर्ष निकलता है कि सर्किट में चार्ज (वोल्टेज) और करंट के दोलन π/2 द्वारा चरणबद्ध रूप से स्थानांतरित होते हैं। नतीजतन, वर्तमान समय में उन क्षणों में अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है जब संधारित्र प्लेटों पर चार्ज (वोल्टेज) होता है शून्य के बराबर, और इसके विपरीत।

जब किसी संधारित्र को चार्ज किया जाता है, तो उसकी प्लेटों के बीच एक विद्युत क्षेत्र प्रकट होता है, जिसकी ऊर्जा होती है

या

जब किसी संधारित्र को प्रारंभ करनेवाला पर विसर्जित किया जाता है, तो उसमें एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है, जिसकी ऊर्जा होती है

एक आदर्श परिपथ में, विद्युत क्षेत्र की अधिकतम ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र की अधिकतम ऊर्जा के बराबर होती है:

आवेशित संधारित्र की ऊर्जा नियम के अनुसार समय-समय पर बदलती रहती है

या

ध्यान में रख कर
, हम पाते हैं

परिनालिका के चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा नियम के अनुसार समय के साथ बदलती रहती है

(17.6)

यह मानते हुए कि I m =q m ω 0, हम प्राप्त करते हैं

(17.7)

दोलन परिपथ के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की कुल ऊर्जा बराबर होती है

डब्ल्यू =डब्ल्यू ई +डब्ल्यू एम = (17.8)

एक आदर्श सर्किट में, कुल ऊर्जा संरक्षित होती है और विद्युत चुम्बकीय दोलन अवमंदित होते हैं।

नम विद्युत चुम्बकीय दोलन

एक वास्तविक दोलन सर्किट में ओमिक प्रतिरोध होता है, इसलिए इसमें दोलन कम हो जाते हैं। इस सर्किट के संबंध में हम फॉर्म में पूरे सर्किट के लिए ओम का नियम लिखते हैं

(17.9)

इस समानता को बदलना:

और प्रतिस्थापन करना:

और
,जहां β-अवमंदन गुणांक हमें मिलता है

(10.17) - यह है नम विद्युत चुम्बकीय दोलनों का विभेदक समीकरण .

ऐसे सर्किट में मुक्त दोलन की प्रक्रिया अब हार्मोनिक नियम का पालन नहीं करती है। दोलन की प्रत्येक अवधि के लिए, सर्किट में संग्रहीत विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का हिस्सा जूल ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है, और दोलन बन जाते हैं लुप्त होती(चित्र 17.5)। छोटे क्षीणन के लिए ω ≈ ω 0, अंतर समीकरण का समाधान फॉर्म का एक समीकरण होगा

(17.11)

एक विद्युत सर्किट में नम दोलन चिपचिपा घर्षण की उपस्थिति में एक स्प्रिंग पर भार के नम यांत्रिक दोलनों के समान होते हैं।

लघुगणक अवमंदन कमी के बराबर है

(17.12)

समय अंतराल
जिसके दौरान दोलनों का आयाम e ≈ 2.7 गुना कम हो जाता है, कहलाता है क्षय समय .

दोलन प्रणाली का गुणवत्ता कारक Q सूत्र द्वारा निर्धारित:

(17.13)

आरएलसी सर्किट के लिए, गुणवत्ता कारक Q सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

(17.14)

रेडियो इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले विद्युत सर्किट का गुणवत्ता कारक आमतौर पर कई दसियों या सैकड़ों के क्रम पर होता है।