Поговорим об этих животных и птицах.

Барсук имеет интересный окрас, тело клинообразно суживается к голове. Хороший землекоп. В зимнее время погружается в спячку. Охота на барсука в определённых областях запрещена. Беркут – крупная птица. Строит огромное до 3 метров в диаметре, гнездо из толстых сучьев на вершине высокого дерева. Занесён в Красную книгу. Косуля – маленький олень очень лёгкого и изящного телосложения. Питается травяной и кустарниковой растительностью, осенью охотно поедает грибы и ягоды. Выхухоль – одно из самых древних сохранившихся на земле видов млекопитающих; она считается современником мамонта и шерстистого носорога. Этот небольшой зверёк обитает в водоёмах со стоячей и слабо проточной водой. Ведёт активный образ жизни круглый год. Занесён в Красную книгу. Росомаха – своеобразный хищник. Питается в основном падалью, но иногда охотится на животных.

Соболь - млекопитающее семейства куньих. Длина тела до 58 см, хвоста до 19 см. Распространен главным образом в России, обитает в тайге, от Северного Приуралья до Тихого океана. Объект пушного промысла и звероводства; составляет основу национального пушного богатства страны. В природе дает помет с лесной куницей - кидасов.

Байбак (степной сурок) - млекопитающее рода сурков. Длина тела до 60 см. В степях Европейской части и Северного Казахстана. Малочислен. Находится под охраной.

Поэт А. Яшин сказал:

Высокомерие не к лицу

Ни великану,

Ни мудрецу.

В сосновом бору,

В берёзовой роще,

Где так многогранно желанье жить,

Мне, сильному, только добрей и проще,

И человечней хочется быть.

Мы видим не всё со своей горы,

Чудес неоткрытых ещё не мало.

Боюсь, чтоб кичливость не помешала

Нам постигать иные миры.

ДАВАЙТЕ И МЫ БУДЕМ ЛЮБИТЬ ОКРУЖАЮЩУЮ НАС ПРИРОДУ, БЕРЕЧЬ И ОХРАНЯТЬ ЖИВОТНЫХ И ПТИЦ!

Итоги урока.

Сегодня наше путешествие к пику «Умножение натуральных чисел» подошло к концу. Мы достигли цели. С каким результатом вы достигли пика, видно из сегодняшней самостоятельной работы. Кто успешно справился со всеми заданиями, тот смог определить, какое животное было зашифровано, а значит самостоятельно проверил свои знания по изученной теме.

Оценивание работы учащихся на уроке.

Тетради сдаются на проверку.

Домашнее задание. № 447, 448, 449 (б)

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел .
Числа 7 и 12 называются множителями .

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m ⋅ n =n⋅ m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅(b ⋅ c )

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a ⋅1=a или 1⋅ a = a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a ⋅0=0 или 0⋅ a =0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Образовательные цели урока:

1. совершенствовать навык умножения натуральных чисел;
2. учить использовать свойства умножения при вычислениях;
3. продолжить работу над текстовыми задачами.

Развивающие цели:

1. развивать логическое мышление;
2. активизировать мыслительную деятельность с помощью информационных технологий.

Воспитательные цели:

1. развивать память, внимание, навык самостоятельной и творческой деятельности;
2. прививать интерес к предмету, используя на уроке ИКТ.

Оборудование:

• интерактивная доска,
• компьютеры,
• презентация к уроку,
• раздаточный материал (кроссворд)
• карточки “Мир растений”,
• сигнальные карточки.

Ход урока

I. Организационный момент. Рефлексия. (Приложение 1 . Слайд 1. )

Сообщение темы и цели урока. (Слайд 2.)

Вступительное слово учителя:

“Сегодня мы будем не просто учениками 5 класса, а членами открытого акционерного общества. А кто из вас знает, что такое открытое акционерное общество?” Информация об ОАО. (Слайд 3.)

Учитель формулирует свое понимание этого термина вместе с учениками. Открытое акционерное общество (ОАО) – это организация, созданная для получения прибыли. Члены этой организации объединяют свои средства для приобретения некоторого предприятия, а взамен получают акции – ценные бумаги, которые свидетельствуют о том, что их держатели имеют право на часть имущества предприятия. Когда предприятие начинает приносить прибыль, владелец может получить часть этой прибыли (дивиденды). Каждое ОАО имеет свое название. Как будет называться акционерное общество, учащиеся узнают, выполнив следующее задание.

II. Фронтальный устный опрос с использованием интерактивной доски.

Учащиеся устно находят значения выражений и заполняют таблицу ответов. Узнают название ОАО, которое они будут создавать сегодня на уроке. (Слайд 4.)

На следующем этапе урока выясняется, кто может стать акционером. В него может вступить каждый, кто купит акцию нашего предприятия. В качестве платы берутся заполненные кроссворды. Учащимся раздаются кроссворды. (Приложение 3.)

III. Индивидуальная работа. Учащиеся разгадывают кроссворд. Взаимопроверка. (Слайд 5.)

IV. Историческая справка. Учитель делает сообщение о создании первых акционерных обществ. (Слайд 6.)

На следующем этапе урока учащиеся, чтобы открыть акционерное общество, в первую очередь должны приобрести помещение. Перед ними два дома. Один явно занят, а второй под вопросом. Необходимо рассмотреть внимательно первый дом, чтобы разрешить вопрос о приобретении второго дома.

V. Решение примеров. (Слайд 7.)

Второй дом раскрыл тайну своего вопроса, что позволяет начать свое дело в этом доме. Что нужно нам для этого сделать?

Ученики предлагают план действий:

Учащимся предлагаются задачи, с которыми все сталкиваются, кто собирается делать ремонт.

VI. Решение задач у доски . (Слайд 8–9.)

Проблема с ремонтом решена и даже с приобретением мебели. В нашем кафе будет уютно, если в нем будет звучать музыка.

VII. Музыкальная пауза. Учащиеся исполняют частушки. (Слайд 10.)

1. Хочешь здания построить иль машины создавать,
   Постарайся лучше в школе математику познать.
2. Если в школе на уроках ты потратишь время зря,
   То серьезным бизнесменом стать не сможешь никогда.
3. Чтобы стать предпринимателем знай ты обязательно
   На уроках должен быть очень ты старательным.
4. Чтобы прибыль потекла к тебе сплошным потоком
   Нужно быть внимательным в школе на уроках.
5. Мы подружки – хохотушки с вами распрощаемся.
   Приглашаем вас в кафе там и повстречаемся.

С музыкальным оформлением вопрос решен, а теперь следует подумать, что будет в меню. Кафе называется “Сладкоежка”, то в нем должны быть сладкие продукты. Их изготовление требует большой изобретательности. Учащиеся тренируют изобретательность на следующем математическом задании.

VIII. Работа с учебником. (Слайд 11.)

№ 416 (стр. 69): повторение и закрепление свойств умножения.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Физкультминутка. (Слайд 12.)

X. Тест. Работа на компьютерах. (Слайд 13.) Учащиеся выполняют тесты на компьютерах. (Приложение 2.)

Подводятся итоги тестирования и выставляются оценки в дневники.

XI. Дополнительное задание. Найди ошибку и исправьее:

1. 76 + 24 = 90;
2. 190 – 67 = 123;
3. 2005 + 15 = 2020;
4. 1313: 13 = 11;
5. 50 · 6 ·13 = 390;
6. 72 · 11 = 792;
7. 8 · 8 · 125 = 800;
8. (200 + 67) – 100 = 167.

XII. Учащиеся из набора слов составляют рекламу для своего кафе. (Слайд14.)

XIII. Итог урока.

Как называются числа при умножении?
Какие свойства умножения применяются для удобства вычислений?

XIV. Творческое домашнее задание. (Слайд 15.)

Карточки “ Из мира растений”.

XV. Рефлексия. (Слайд 16.)

Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6 . Иначе это запишем: 6 · 3 = 6 + 6 + 6 = 18 . Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.

Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.

Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8 , необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8) , и строку левой ячейки, где число 8 (6) . Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8 .

Умножение трех и более количества чисел

Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a · (b · c) и (a · b) · c , где a , b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a · b · c . Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.

Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a · b) · (c · d) , (a · (b · c)) · d , ((a · b) · c) · d , a · (b · (c · d)) и a · ((b · c) · d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a · b · c · d .

Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.

Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2 · 1 · 3 · 1 · 8 . Имеется два основных способы решения.

Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 2 · 3 · 1 · 8 . Так как 2 · 3 = 6 , то 2 · 3 · 1 · 8 = 6 · 1 · 8 . Далее имеем, что 6 · 1 = 6 , тогда в итоге получим результат 6 · 8 = 48 . Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48 . Этот способ записывается, как (((2 · 1) · 3) · 1) · 8 .

Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2 · 1) · 3) · (1 · 8) . Имеем, что 2 · 1 = 2 и 1 · 8 = 8 , то ((2 · 1) · 3) · (1 · 8) = (2 · 3) · 8 . При 2 · 3 равном 6 получим, что (2 · 3) · 8 = 6 · 8 . В итоге получим, что 6 · 8 = 48 . Отсюда следует, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 48 .

Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.

Пример 1

Даны четыре числа для умножения: 3 , 9 , 2 , 1 . Их произведение записывается в виде 3 · 9 · 2 · 1 .

При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18 .

Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.

Тогда получим: 3 · 9 · 2 · 1 = 3 · 2 · 9 · 1 = (3 · 2) · (9 · 1) = 6 · 9 = 54 .

При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.

Пример 2

Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?

Решение

Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.

Тогда в одном ящике 3 · 2 = 6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6 · 4 = 24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2 · 4 = 8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3 · 8 = 24 предмета.

Эти решения можно записать таким образом (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24 или 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24 .

Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3 , 2 , 4 , а значит, что 3 · 2 · 4 = 24 .

Ответ: 24 .

Подведем итоги.

При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.

Умножение суммы на натуральное число и наоборот

Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.

Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a + b) · c = a · c + b · c , где a , b , c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d , (a + b + c + d) · h = a · h + b · h + c · h + d · h и т.д., где a , b , c , d , h являются натуральными числами.

Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.

Если взять сумму из пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на 3 , получим, что (7 + 2 + 3 + 8 + 8) · 3 = 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 . Отсюда имеем, что 7 · 3 = 21 , 2 · 3 = 6 , 3 · 3 = 9 , 8 · 3 = 24 , то 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 = 21 + 6 + 9 + 24 + 24 , после чего находим сумму чисел 21 + 6 + 9 + 24 + 24 = 84 .

Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7 + 2 + 3 + 8 + 8 = 28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.

Например, 2 · (6 + 1 + 3) = 2 · 6 + 2 · 1 + 2 · 3 = 12 + 2 + 6 = 20 . Здесь применяем правила умножения числа на сумму.

Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример 3

В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?

Решение

Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3 + 7 + 2 . Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3 + 7 + 2) · 4 предметов.

Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3 + 7 + 2) · 4 = 3 · 4 + 7 · 4 + 2 · 4 = 12 + 28 + 8 = 48 .

Ответ: 48 предметов.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее

Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10 , рассмотрим подробно.

Натуральные числа вида 20 , 30 , 40 , … , 90 соответствуют 2 , 3 , 4 , … , 9 десяткам. Это значит, что 20 = 10 + 10 , 30 = 10 + 10 + 10 , … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2 · 10 = 20 , 3 · 10 = 30 , . . . , 9 · 10 = 90 .

Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:

2 · 100 = 200 , 3 · 100 = 300 , . . . , 9 · 100 = 900 ; 2 · 1 000 = 2 000 , 3 · 1 000 = 3 000 , . . . , 9 · 1 000 = 9 000 ; 2 · 10 000 = 20 000 , 3 · 10 000 = 30 000 , . . . , 9 · 10 000 = 90 000 ; . . .

Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10 · 10 = 100 ;

что десяток сотен – это тысяча, тогда 100 · 10 = 1 000 ;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000 · 10 = 10 000 .
Исходя из рассуждений, получим 10 000 · 10 = 100 000 , 100 000 · 10 = 1 000 000 , …

рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.

Пример 4

Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10 .

Решение

Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032 · 10 = (7 000 + 30 + 2) · 10 = 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 . Число 7000 можно представить в виде произведения 7 · 1 000 , число 30 произведением 3 · 10 .

Отсюда получим, что сумма 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 будет равна сумме (7 · 1 000) · 10 + (3 · 10) · 10 + 2 · 10 . Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7 · 1 000) · 10 + (3 · 10) · 10 + 2 · 10 = 7 · (1 000 · 10) + 3 · (10 · 10) + 2 · 10 .

Отсюда получим, что 7 · (1 000 · 10) + 3 · (10 · 10) + 2 · 10 = 7 · 10 000 + 3 · 100 + 2 · 10 = 70 000 + 300 + 20 . Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000 + 300 + 20 .

Ответ: 7 032 · 10 = 70 320 .

Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10 . В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0 .

Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10 . Если в конце записи дописать цифру 0 , тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10 . Когда в записи натурального числа дописывают 0 , то полученное число применяется как результат умножения на 10 .

Приведем примеры: 4 · 10 = 40 , 43 · 10 = 430 , 501 · 10 = 5 010 , 79 020 · 10 = 790 200 и так далее.

Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10 , можно получить умножение произвольного числа на 100 , 1000 и выше.

Если 100 = 10 · 10 ,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10 .

Тогда получим:

17 · 100 = 17 · 10 · 10 = 170 · 10 = 1 700 ; 504 · 100 = 504 · 10 · 10 = 5 040 · 10 = 50 400 ; 100 497 · 100 = 100 497 · 10 · 10 = 1 004 970 · 10 = 10 049 700 .

Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100 . Это и называется правилом умножения числа на 100 .

Произведение 1 000 = 100 · 10 , тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10 . Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000 . Когда в записи имеется 3 цифры 0 , тогда считают, что это результат умножения числа на 1000 .

Таким же образом производится умножение на 10000 , 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.

В качестве примера запишем:

58 · 1 000 = 58 000 ; 6 032 · 1 000 000 = 6 032 000 000 ; 777 · 10 000 = 7 770 000 .

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел

Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.

Пример 5

Найти произведение трехзначного числа 763 на 5 .

Решение

Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763 = 700 + 60 + 3 . Отсюда получим, что 763 · 5 = (700 + 60 + 3) · 5 .

Используя правило умножения суммы на число, получим, что:

(700 + 60 + 3) · 5 = 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 .

Произведения 700 = 7 · 100 и 60 = 6 · 10 и сумма 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 записывается, как (7 · 100) · 5 + (6 · 10) · 5 + 3 · 5 .

Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7 · 100) · 5 + (6 · 10) · 5 + 3 · 5 = (5 · 7) · 100 + (5 · 6) · 10 + 3 · 5 .

Так как 5 · 7 = 35 , 5 · 6 = 30 и 3 · 5 = 15 , то (5 · 7) · 100 + (5 · 6) · 10 + 3 · 5 = 35 · 100 + 30 · 10 + 15 .

Выполняем умножение на 100 , на 10 . После этого выполняем сложение 35 · 100 + 30 · 10 + 15 = 3 500 + 300 + 15 = 3 815

Ответ:произведение 763 и 5 = 3815 .

Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.

Пример 6

Найти произведение 3 и 104558 .

Решение

3 · 104 558 = 3 · (100 000 + 4 000 + 500 + 50 + 8) = = 3 · 100 000 + 3 · 4 000 + 3 · 500 + 3 · 50 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 3 · (4 · 1 000) + 3 · (5 · 100) + 3 · (5 · 10) + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + (3 · 4) · 1 000 + (3 · 5) · 100 + (3 · 5) · 10 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 12 · 1 000 + 15 · 100 + 15 · 10 + 3 · 8 = = 300 000 + 12 000 + 1 500 + 150 + 24 = 313 674 .

Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674 .

Умножение двух многозначных натуральных чисел

Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.

Пример 7

Вычислить произведение 41 и 3806 .

Решение

Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000 + 800 + 6 , тогда 41 · 3 806 = 41 · (3 000 + 800 + 6) .

Правило умножения применимо для 41 · (3 000 + 800 + 6) = 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 .

Так как 3 000 = 3 · 1 000 и 800 = 8 · 100 , тогда справедливо равенство 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 = 41 · (3 · 1 000) + 41 · (8 · 100) + 41 · 6 .

Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41 · 3) · 1 000 + (41 · 8) · 100 + 41 · 6 .

Вычисляя произведения 41 · 3 , 41 · 8 и 41 · 6 , представляем его в виде суммы

41 · 3 = (40 + 1) · 3 = 40 · 3 + 1 · 3 = (4 · 10) · 3 + 1 · 3 = (3 · 4) · 10 + 1 · 3 = 12 · 10 + 3 = 120 + 3 = 123 ; 41 · 8 = (40 + 1) · 8 = 40 · 8 + 1 · 8 = (4 · 10) · 8 + 1 · 8 = (8 · 4) · 10 + 1 · 8 = 32 · 10 + 8 = 320 + 8 = 328 ; 41 · 6 = (40 + 1) · 6 = 40 · 6 + 1 · 6 = (4 · 10) · 6 + 1 · 6 = (6 · 4) · 10 + 1 · 6 = 24 · 10 + 6 = 240 + 6 = 246

Получим, что

(41 · 3) · 1 000 + (41 · 8) · 100 + 41 · 6 = 123 · 1 000 + 328 · 100 + 246 = 123 000 + 32 800 + 246

Вычислим сумму натуральных чисел:

123 000 + 32 800 + 246 = 156 046

Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046 .

Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.

Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.

Пример 8

Произвести умножение 11 на 13 , равное 143 . Необходимо выполнить проверку.

Решение

Проверка производится посредством деления 143 на 11 . Тогда получим, что 143: 11 = (110 + 33) : 11 = 110: 11 + 33: 11 = 10 + 3 = 13 .

Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.

Пример 9

Произведено умножение 37 на 14 . Результат равен 528 . Выполнить проверку.

Решение

Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37 . Должны получить число 14 . Производится делением столбиком:

При делении мы выявили, что 528 делится на 37 , но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.

Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.

Пример 10

Вычислить произведение чисел 53 и 7 , после чего выполнить проверку.

Решение

Представляем число в виде суммы 50 + 3 . Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53 · 7 = (50 + 3) · 7 = 50 · 7 + 3 · 7 = 350 + 21 = 371 .

Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371: 7 = (350 + 21) : 7 = 350: 7 + 21: 7 = 50 + 3 = 53 . Значит, умножение произведено верно.

Ответ: 53 · 7 = 371 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter