Вычитание отрицательного числа, правило, примеры. Положительные и отрицательные числа, определение, примеры

Сейчас мы разберем положительные и отрицательные числа . Сначала дадим определения, введем обозначения, после чего приведем примеры положительных и отрицательных чисел. Также остановимся на смысловой нагрузке, которую несут в себе положительные и отрицательные числа.

Навигация по странице.

Положительные и отрицательные числа – определения и примеры

Дать определение положительных и отрицательных чисел нам поможет . Для удобства будем считать, что она расположена горизонтально и направлена слева направо.

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными .

Определение.

Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными .

Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Из определения отрицательных и положительных чисел следует, что множество всех отрицательных чисел представляет собой множество чисел, противоположных всем положительным числам (при необходимости смотрите статью противоположные числа). Следовательно, отрицательные числа всегда записываются со знаком минус.

Теперь, зная определения положительных и отрицательных чисел, мы с легкостью можем привести примеры положительных и отрицательных чисел . Примерами положительных чисел являются натуральные числа 5 , 792 и 101 330 , да и вообще любое натуральное число является положительным. Примерами положительных рациональных чисел являются числа , 4,67 и 0,(12)=0,121212... , а отрицательных – числа , −11 , −51,51 и −3,(3) . В качестве примеров положительных иррациональных чисел можно привести число пи, число e , и бесконечную непериодическую десятичную дробь 809,030030003… , а примерами отрицательных иррациональных чисел являются числа минус пи, минус e и число, равное . Следует отметить, что в последнем примере отнюдь не очевидно, что значение выражения является отрицательным числом. Чтобы это узнать наверняка, нужно получить значение этого выражения в виде десятичной дроби, а как это делается, мы расскажем в статье сравнение действительных чисел .

Иногда перед положительными числами записывается знак плюс, также как перед отрицательными числами записывается знак минус. В этих случаях следует знать, что +5=5 , и т.п. То есть, +5 и 5 и т.п. – это одно и то же число, но по-разному обозначенное. Более того, можно встретить определение положительных и отрицательных чисел, на основании знака плюс или минус.

Определение.

Числа со знаком плюс называют положительными , а со знаком минус – отрицательными .

Существует еще одно определение положительных и отрицательных чисел, основанное на сравнении чисел. Чтобы дать это определение, достаточно лишь вспомнить, что точка на координатной прямой, соответствующая большему числу, лежит правее точки, соответствующей меньшему числу.

Определение.

Положительные числа – это числа, которые больше нуля, а отрицательные числа – это числа, меньшие нуля.

Таким образом, нуль как бы отделяет положительные числа от отрицательных.

Конечно же, следует еще остановиться на правилах чтения положительных и отрицательных чисел. Если число записано со знаком + или −, то произносят название знака, после чего произносят число. Например, +8 читается как плюс восемь, а - как минус одна целая две пятых. Названия знаков + и − не склоняются по падежам. Примером правильного произношения является фраза «a равно минус трем» (не минусу трем).

Интерпретация положительных и отрицательных чисел

Мы уже достаточно долго описываем положительные и отрицательные числа. Однако неплохо было бы знать, какой смысл они несут в себе? Давайте разберемся с этим вопросом.

Положительные числа можно интерпретировать как приход, как прибавку, как увеличение какой-либо величины и тому подобное. Отрицательные числа, в свою очередь, означают строго противоположное – расход, недостаток, долг, уменьшение какой-либо величины и т.п. Разберемся с этим на примерах.

Можно сказать, что мы обладаем 3 предметами. Здесь положительное число 3 указывает количество находящихся у нас предметов. А как можно интерпретировать отрицательное число −3 ? Например, число −3 может означать, что мы должны кому-нибудь отдать 3 предмета, которых у нас даже нет в наличии. Аналогично можно сказать, что в кассе нам выдали 3,45 тысяч рублей. То есть, число 3,45 связано с нашим приходом. В свою очередь отрицательное число −3,45 будет указывать на уменьшение денег в кассе, выдавшей эти деньги нам. То есть, −3,45 – это расход. Еще пример: повышение температуры на 17,3 градуса можно описать положительным числом +17,3 , а понижение температуры на 2,4 можно описать с помощью отрицательного числа, как изменение температуры на −2,4 градуса.

Положительные и отрицательные числа часто используются для описания значений каких-либо величин в различных измерительных приборах. Самым доступным примером является прибор для измерения температур – термометр - со шкалой, на которой записаны и положительные и отрицательные числа. Часто отрицательные числа изображают синим цветом (он символизирует снег, лед, а при температуре ниже нуля градусов Цельсия начинает замерзать вода), а положительные числа записывают красным цветом (цвет огня, солнца, при температуре выше нуля градусов начинает таять лед). Запись положительных и отрицательных чисел красным и синим цветом используют и в других случаях, когда нужно особо выделить знак чисел.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Цели и задачи урока:

• Обобщающий урок по математике в 6 классе «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел»
• Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
• Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
• Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.

Ход урока

I. Организационный момент

Ребята мы с вами путешествуем по стране «Рациональных чисел», где живут положительные, отрицательные числа и нуль. Путешествуя, мы узнаём много интересного о них, знакомимся с правилами и законами, по которым они живут. Значит, и мы должны соблюдать эти правила и подчиняться их законам.

А с какими правилами и законами мы познакомились? (правила сложения и вычитания рациональных чисел, законы сложения)

И так тема нашего урока «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел». (Учащиеся записывают в тетрадях число и тему урока)

II. Проверка домашнего задания

III . Актуализация знаний.

Начнем урок с устной работы. Перед вами ряд чисел.

8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.

Ответьте на вопросы:

Какое число в ряду наибольшее?

Какое число имеет наибольший модуль?

Какое число является наименьшим в ряду?

Какое число имеет наименьший модуль?

Как сравнить два положительных числа?

Как сравнить два отрицательных числа?

Как сравнить числа с разными знаками?

Какие числа в ряду являются противоположными?

Назовите числа в порядке возрастания.

IV . Найди ошибку

а) -47 + 25+ (-18)= 30

в) - 7,2+(- 3,5) + 10,6= - 0,1

г) - 7,2+ (- 2,9) + 7,2= 2,4

V .Задание «Отгадай слово»

В каждой группе я раздала задания, в которых зашифрованы слова.

Выполнив все задания, Вы отгадаете ключевые слова(цветы, подарок, девочки )

V I . Физминутка

Молодцы, вы хорошо потрудились, я думаю самое время отдохнуть, сконцентрировать внимание, снять усталость, вернуть душевное спокойствие помогут простые упражнения

ФИЗМИНУТКА (Если высказывание верное, хлопните в ладоши, если нет - покачайте головой из стороны в сторону):

При сложении двух отрицательных чисел модули слагаемых нужно вычесть -

Суммы двух отрицательных чисел всегда отрицательны +

При сложении двух противоположных чисел всегда получается 0 +

При сложении чисел с разными знаками нужно их модули сложить -

Сумма двух отрицательных чисел всегда меньше каждого из слагаемых +

При сложении чисел с разными знаками нужно из большего модуля вычесть меньший модуль +

VII. Решение заданий по учебнику.

№1096(а,д,и)

VIII. Домашняя работа

1 уровень «3»-№1132

2 уровень-«4»-№1139, 1146

I Х. Самостоятельная работа по вариантам.

1 уровень, «3»

2 уровень, «4»

3 уровень, «5»

Взаимопроверка по доске, меняемся соседями по парте

Х. Подведение итогов урока. Рефлексия

Вспомним начало нашего урока, ребята.

А какие цели урока мы поставили перед собой?

Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

Ребята, а теперь сами оцените свою работу на уроке. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, всё вам п онятно, то нарисуйте себя на вершине горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже, а слева или справа решите сами.

Передайте мне свои рисунки вместе с карточкой оценок, итоговую оценку за работу вы узнаете на следующем уроке.

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

• Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
• Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
• Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

• Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
• Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

ВЫЧИТАНИЕ

Математика, 6 класс

(Н.Я.Виленкин)

учитель математики МОУ «Упшинская основная

общеобразовательная школа» Оршанского района Республики Марий Эл

Смысл вычитания

Задача. Пешеход за 2 часа прошел 9 км. Сколько километров он прошел за первый час, если его путь за второй час равен 4 км?

В этой задаче число 9 - сумма двух слагаемых, одно из которых равно 4 , а другое неизвестно.

Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

Смысл вычитания

Так как 5 + 4 = 9,

то искомое слагаемое равно 5.

Пишут 9 – 4 = 5

9 – 4 = 5

разность

вычитаемое

уменьшаемое

Смысл вычитания

– 5 + 14 = 9

9 – 14 = ?

? + 14 = 9

9 – 14 = –5

– 9 – 14 = ?

– 23 + 14 = –9

? + 14 = –9

– 9 – 14 = – 23

Смысл вычитания

Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл: действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

9 – (–14) = ?

23 + (–14) = 9

? + (–14) = 9

9 – (–14) = 23

Подберите неизвестное слагаемое

– 9 – (–14) = ?

5 + (–14) = –9

? + (–14) = –9

– 9 – (–14) = 5

9 – (–14) = 23

9 – 14 = –5

9 + (–14) = –5

9 + 14 = 23

– 9 – (–14) = 5

– 9 – 14 = – 23

– 9 + (–14) = – 23

– 9 + 14 = 5

Подумайте, как вычитание заменить сложением.

ПРАВИЛО. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

ВЫЧИТАНИЕ

а – b = a + ( –b )

15 – 18 = 15 + ( –18 ) =

15 – ( –18 ) = 15 + 18 =

ВЫЧИТАНИЕ

Замените вычитание сложением и найдите значение выражения:

12 – 20 =

3,4 – 10 =

– 10 – ( –13 ) =

– 1,2 – ( –1,3 ) =

17 – ( –13 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 21 – 13 =

– 5,1 – 4,9 =

ВЫЧИТАНИЕ

5 – 10 = 5 + ( – 10 )

ПРАВИЛО. Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму

Назовите каждое слагаемое в сумме:

5 – 10 + 7 –15 –23 =

– n + y – 9 + b – c – 1 =

ВЫЧИСЛИТЕ:

– 10 + 7 – 15 =

12 – 17 – 11 =

12 + 23 – 41 =

– 2 – 33 + 20 =

24 – 75 + 20 =

8 – 6 =

2

уменьшаемое

вычитаемое

разность

– 2 – ( –5 ) =

3

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Когда разность двух чисел положительна?

8 6

– 2 –5

ПРАВИЛО. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого .

10 – 15 =

– 5

уменьшаемое

вычитаемое

разность

– 8 – ( –6 ) =

– 2

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Сравните уменьшаемое и вычитаемое в примерах.

Когда разность двух чисел отрицательна?

10 15

– 8 –6

ПРАВИЛО. Разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого .

Подумайте, когда разность двух чисел равна 0. Приведите примеры.

0

уменьшаемое

разность

вычитаемое

Определите знак разности, не производя вычислений:

– 12 – ( –13 ) =

3,4 – 10 =

15 – ( –11 ) =

2,3 – ( –3,5 ) =

– 5,1 – 4,9 =

– 31 – 23 =

Нахождение длины отрезка

х

А (–3)

– 3 + х = 4

х = 4 – (–3) = 7

В (4)

АВ - ?

АВ = 7 ед.

ПРАВИЛО.

Нахождение длины отрезка

А (–1)

АВ = –1 – (–5) = 4 ед.

В (–5)

АВ - ?

АВ = 4 ед.

ПРАВИЛО. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Вопросы для закрепления:

• Что означает вычитание отрицательных чисел?
• Как вычитание заменить сложением?
• Когда разность двух чисел положительна?
• Когда разность двух чисел отрицательна?
• Когда разность двух чисел равна нулю?
• Как найти длину отрезка на координатной прямой?

учитель начальных классов МАОУ лицей №21 , г. Иваново

НЕМНОГО ИСТОРИИ

Индийские математики пред-ставляли себе положительные числа как «имущества» , а отрицательные числа как «долги»

Правила сложения и вычитания, излагаемые Брахмагуптой:

• «Сумма двух имуществ есть имущество».
• «Сумма двух долгов есть долг»

• «Сумма имущества и долга равна их разности»

Брахмагупта, индийский математик и астроном.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

1. Образовательные:

• обобщить и систематизировать знания учащихся о правилах действий над положительными и отрицательными числами;
• закрепить умение применять правила в процессе выполнения упражнений;
• формировать навыки самостоятельной работы.

2. Развивающие:

• развивать логическое мышление учащихся, математическую речь, вычислительные навыки;
• развивать умение применять полученные навыки в решении уравнений.

3. Воспитательные:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание активности, настойчивости в достижении цели;
• воспитание коллективной дружбы, взаимопомощи, товарищества.

Тип урока : повторение, систематизация и обобщение изученного.

Формы работы на уроке : индивидуальная, групповая, парная, коллективная; устная, письменная.

Оборудование : наглядный материал (презентация); мультимедийный проектор, компьютерная система; раздаточный дидактический материал.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Постановка целей и формулировка темы урока.
3. Актуализация знаний учащихся.
4. Закрепление знаний.
5. Исторические сведения.
6. Подведение итогов урока и задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент.

– Добрый день! Здравствуйте, ребята!

Нам урок пора начать.
Пришло время вычислять.
И на трудные вопросы
Вы ответ сумейте дать.

– А трудных вопросов сегодня будет много.

II. Постановка целей и формулирование темы урока.

(Слайды 1 3

– Ребята, на протяжении последних уроков математики, мы, учились выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Целью сегодняшнего урока будет закрепление знаний, связанных с выполнением действий над положительными и отрицательными числами. Итак, давайте вместе сформулируем тему сегодняшнего урока.

Ученики формулируют тему. Запись в тетрадях.

– Девизом нашего урока мне хочется взять слова гениального русского поэта и ученого М.В.Ломоносова: «Примеры учат больше, чем теория». И мы сегодня с вами, ребята, постараемся подтвердить эти слова. (Слайд 4)

За выполнение каждого задания, во время работы, вы будете ставить себе в тетрадях определенное количество баллов.

III. Актуализация знаний учащихся.

1) Работа над правилами (5 баллов). (Слайды 5-12)

• Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит «Знаки». Это означает, что первый ученик должен представлять вместо * знаки действий в порядке очередности, определить знаки чисел, которые будут получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх, и второй ученик назовет знаки чисел в обратном порядке.
• Учитель проводит указкой по знакам сверху вниз и говорит «Ответы». Третий ученик должен представлять вместо * знаки действий в порядке очередности, назовет ответы чисел, которые будут получаться в результате выполнения этих действий. Потом проводит указкой снизу вверх, и четвертый ученик назовет ответы в обратном порядке.
• Учитель говорит «Представьте себе, что на первом месте стоит число -150, а не 150» и предлагает выполнить устно задание, аналогичное предыдущему.

Проверку каждого примера сопроводить правилом.

2) Даны числа -15 и 3. Назовите:

а) какое из чисел больше (меньше);
б) модули этих чисел;
в) два целых числа, расположенных между ними;
г) сумму, разность, произведение и частное данных чисел (4 балла). (Слайд 13)

– Итак, мы с вами вспомнили правила действий с положительными и отрицательными числами.

IV. Закрепление знаний.

1) Опорная схема. (Слайды 14-17)

– А сейчас повторим основные правила на действия с отрицательными и положительными числами, составляем опорную схему.

Действие «вычитание» заменяется сразу раскрытием скобок и приведением к алгебраической сумме и отрабатывается навык вычисления алгебраической суммы.

2) Карточка-тренажер . Работа в группах (6 баллов).

– Ребята, я вам раздам карточки. Выделим четыре типа заданий, которые оформляются в виде карточек. Для удобства карточки обозначим: «ДПОЧ-1», «ДПОЧ-2», «ДПОЧ-3», «ДПОЧ-4», где буквы указывают тему, а цифры – порядковый номер карточки. В каждой карточке содержится по 5 упражнений с ответами (Приложение 1 ).

Все ученики получают по одной карточке и рассаживаются по парам. Один из учеников пары диктует своему напарнику первое упражнение своей карточки, однако ответ не читает. Напарник выполняет предложенное упражнение. Первый ученик следит за правильностью выполнения упражнения напарником. Если ответ правильный, то предлагает выполнить второе упражнение. Если ответ неправильный, то он дает время напарнику подумать и еще раз попытаться ответить на вопрос. Если напарник затрудняется или ошибается, то первый ученик сообщает правильный ответ, затем переходит к следующему вопросу. После того как первый ученик продиктует все упражнения из своей карточки, а второй правильно выполнит их, напарники меняются ролями. Совместная работа считается законченной, когда все упражнения продиктованы и проверены друг другом. Пара расходится, и каждый ученик уходит со своей карточкой. Один из учеников группы выполняет координацию работы.

3) Самостоятельная работа (1-3 – 5 баллов; 4 – 3 балла), (приложение 2 ).

– Проверьте себя, выполнив тестовые задания по этой теме.

1 вариант

Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное неравенство? 10 + (-35) * -10,9
а) > б) <; в) =; г) нет такого знака

Выполните действия: (– 0,5* 6,8 + 1,2): (-2);
а) -2,3; б) -1,1; в) 1,1; г) 2,3

Решите уравнение: -5 + х = 6,9
а) 11,9; б) -1,9; в) – 11,9; г) 1,9

Для желающих. Решите уравнение: |2 + х| = 4

Ответы: 1. б; 2. в; 3. а; 4. – 6; 2.

2 вариант

Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное неравенство? 24 + (-30) * – 20,51
а) > б) <; в) =; г) нет такого знака

Выполните действия: (4,8* (– 0,5) – 2,1): 5;
а) – 0,18; б) 0,9; в) 0, 18; г) – 0,9

Решите уравнение: 7,2 – х = 8,7
а) 1, 5; б) 15, 9; в) – 1,5; г) – 15, 9

Для желающих. Решите уравнение: |4 + х| = 12
Ответы: 1. а; 2. г; 3. в; 4. – 16; 8.

Самопроверка и самооценка по «ключу». (Слайд 18)

Ответ: Брахмагупта

Брахмагупта – индийский математик, который жил в 7 веке. Одним из первых он начал использовать положительные и отрицательные числа. Положительные числа он называл «имущество», отрицательные – «долги».

VI. Подведение итогов урока.

(Слайды 23-24)

– Ребята, на ваших столах лежат карточки. Заполните, пожалуйста! (Приложение 4 )

«3» – 12 -16б; «4» – 17 -22б; «5» – 23б и более.

Задание на дом:

• №1211, 1224 (2)
• Для желающих: составить математическое лото по данной теме или придумать правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел в стихотворной форме.

Ученики сдают тетради и карточки подведения итогов урока на проверку учителю.

– Молодцы! Спасибо за урок!

Литературные источники, использованные при подготовке к уроку:

1. Математика, 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2010.
2. Математика в школе, 1995, №2. Взаимотренаж на уроках математики. Текст Б.Н. Бигельдинова.
3. Математика в школе, 1994, №6. Опорные конспекты для 5-6 классов. Л.В. Воронина.