ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना कैसे करें। एक परिधि क्या है

निम्नलिखित परीक्षण कार्यों में, आपको आकृति में दिखाए गए चित्र की परिधि को खोजने की आवश्यकता है।

किसी आकृति की परिधि ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आप मूल आकार को इस तरह से बदल सकते हैं कि नए आकार की परिधि की गणना आसानी से की जा सके (उदाहरण के लिए, आयत में परिवर्तन)।

एक अन्य उपाय यह है कि आकृति की परिधि को सीधे देखें (इसके सभी पक्षों की लंबाई के योग के रूप में)। लेकिन इस मामले में, केवल ड्राइंग पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, बल्कि समस्या के डेटा के आधार पर खंडों की लंबाई का पता लगाया जा सकता है।

मैं आपको चेतावनी देना चाहता हूं: कार्यों में से एक में, प्रस्तावित उत्तरों में से, मुझे वह नहीं मिला जो मेरे लिए निकला।

सी) .

आइए छोटे आयतों के किनारों को आंतरिक क्षेत्र से बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। नतीजतन, बड़ा आयत बंद हो जाता है। आयत का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र

इस मामले में, a=9a, b=3a+a=4a. अत: P=2(9a+4a)=26a. बड़े आयत की परिधि में हम चार खंडों की लंबाई का योग जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक 3a के बराबर होता है। परिणामस्वरूप, P=26a+4∙3a= 38a .

सी) .

छोटे आयतों के आंतरिक पक्षों को बाहरी क्षेत्र में स्थानांतरित करने के बाद, हमें एक बड़ा आयत मिलता है, जिसकी परिधि P=2(10x+6x)=32x है, और चार खंड, x लंबाई के दो, 2x लंबाई के दो खंड हैं।

कुल, पी=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

आइए 6 क्षैतिज "कदम" को अंदर से बाहर की ओर ले जाएं। परिणामी बड़े आयत का परिमाप P=2(6y+8y)=28y है। आयत 4y+6∙y=10y के अंदर के खंडों की लंबाई का योग ज्ञात करना बाकी है। अत: आकृति का परिमाप P=28y+10y= . है 38y .

डी) .

आइए ऊर्ध्वाधर खंडों को आकृति के आंतरिक क्षेत्र से बाईं ओर, बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। एक बड़ा आयत पाने के लिए, 4x लंबाई में से किसी एक को निचले बाएँ कोने में ले जाएँ।

हम मूल आकृति की परिधि को इस बड़े आयत की परिधि और शेष तीन खंडों की लंबाई के योग के रूप में पाते हैं P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

इ) .

छोटे आयतों की भीतरी भुजाओं को बाहरी क्षेत्र में ले जाने पर हमें एक बड़ा वर्ग प्राप्त होता है। इसका परिमाप P=4∙10x=40x है। मूल आकृति की परिधि प्राप्त करने के लिए, आपको वर्ग की परिधि में आठ खंडों की लंबाई, प्रत्येक 3x लंबे, का योग जोड़ना होगा। कुल, पी=40x+8∙3x= 64x .

बी) .

आइए सभी क्षैतिज "चरणों" और ऊर्ध्वाधर ऊपरी खंडों को बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। परिणामी आयत का परिमाप P=2(7y+4y)=22y है। मूल आकृति की परिधि को खोजने के लिए, आपको आयत की परिधि में चार खंडों की लंबाई का योग जोड़ना होगा, प्रत्येक की लंबाई y: P=22y+4∙y= 26वर्ष .

डी) .

सभी क्षैतिज रेखाओं को आंतरिक क्षेत्र से बाहरी क्षेत्र में ले जाएँ और दो ऊर्ध्वाधर बाहरी रेखाओं को क्रमशः बाएँ और दाएँ कोनों में, z को बाएँ और दाएँ घुमाएँ। परिणामस्वरूप, हमें एक बड़ा आयत मिलता है, जिसका परिमाप P=2(11z+3z)=28z है।

मूल आकृति का परिमाप बड़े आयत के परिमाप और z में छह खंडों की लंबाई के योग के बराबर है: P=28z+6∙z= 34z .

बी) .

समाधान पूरी तरह से पिछले उदाहरण के समाधान के समान है। आकृति को बदलने के बाद, हम बड़े आयत का परिमाप पाते हैं:

पी=2(5z+3z)=16z। आयत की परिधि में हम शेष छह खंडों की लंबाई का योग जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक z के बराबर है: P=16z+6∙z= 22z .

परिधि - गणितीय, या बल्कि, ज्यामितीय शब्दों में से एक, मुख्य रूप से एक आकृति के पक्षों की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

हमारे लेख से, आप सीखेंगे कि एक परिधि क्या है और इसे बुनियादी ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण का उपयोग करके कैसे मापा जाता है।

परिधि परिभाषा

परिधि सभी पक्षों की कुल लंबाई या एक आकृति की परिधि है। परिधि को एक बड़े अक्षर "पी" के साथ दर्शाया गया है, और इसे लंबाई की विभिन्न इकाइयों में मापा जा सकता है, जैसे मिलीमीटर (मिमी), सेंटीमीटर (सेमी), मीटर (एम), आदि। विभिन्न आकृतियों के लिए, अलग-अलग सूत्र हैं परिधि खोजने के लिए। नीचे हम कुछ उदाहरण देंगे कि कैसे एक आयत का परिमाप और कुछ अन्य आकृतियों का पता लगाया जाए।

हम परिधि को मापते हैं

यदि आपको एक जटिल आकृति की परिधि का पता लगाने की आवश्यकता है (ऐसे आंकड़ों में असमान रेखाओं वाले आंकड़े शामिल हैं), तो इसके लिए आपको एक रस्सी या धागे की आवश्यकता होगी। इन चीजों की मदद से, आकृति के सटीक समोच्च का वर्णन करना आवश्यक है, और भ्रमित न होने के लिए, आप एक पेंसिल के साथ रस्सी पर निशान बना सकते हैं। या आप बस इसे काट सकते हैं, और फिर सभी भागों को शासक से जोड़ सकते हैं। इस प्रकार, आपको पता चल जाएगा कि लगभग किसी भी जटिल आकृति का परिमाप क्या है।

जटिल आकृतियों की परिधि की गणना के लिए एक और उपकरण है: इसे कर्विमीटर (रोलर रेंजफाइंडर) कहा जाता है। इसके साथ, आपको रोलर को आकृति के किसी भी बिंदु पर सेट करने और रोलर के साथ आकृति के समोच्च का वर्णन करने की आवश्यकता है। परिणामी संख्या परिधि के बराबर होगी। आप हमारे लेख से अन्य ज्यामितीय आकृतियों की परिधि खोजने के बारे में जान सकते हैं। खैर, हम आपको विभिन्न आकृतियों के परिमाप को बदलने के कई और तरीकों के बारे में बताएंगे।

वृत्त, वर्ग, समबाहु त्रिभुज

आइए यह भी देखें कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाता है। यह बहुत आसान है: आपको केवल परिधि निर्धारित करने की आवश्यकता है, और आप त्रिज्या "r" को संख्या π≈3.14 और फिर 2 (P=L=2∙π∙r) से गुणा करके ऐसा कर सकते हैं।

गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक आयत का परिमाप है। इस विषय पर कई समस्याएं हैं, जिनका समाधान परिधि सूत्र और इसकी गणना करने के कौशल के बिना नहीं हो सकता।

मूल अवधारणा

आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं और विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समान और समानांतर होती हैं। हमारे जीवन में, कई आकृतियाँ एक आयत के आकार की होती हैं, उदाहरण के लिए, एक मेज की सतह, एक नोटबुक, इत्यादि।

एक उदाहरण पर विचार करें:भूमि की सीमाओं के साथ एक बाड़ लगाई जानी चाहिए। प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें मापने की आवश्यकता है।

चावल। 1. एक आयत के आकार में भूमि भूखंड।

भूमि भूखंड की लंबाई 2 मीटर, 4 मीटर, 2 मीटर, 4 मीटर है। इसलिए, बाड़ की कुल लंबाई का पता लगाने के लिए, आपको सभी पक्षों की लंबाई जोड़नी होगी:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 मी.

यह वह मान है जिसे आम तौर पर परिधि कहा जाता है। इस प्रकार, परिधि को खोजने के लिए, आपको आकृति के सभी पक्षों को जोड़ना होगा। P अक्षर का प्रयोग परिमाप को निरूपित करने के लिए किया जाता है।

एक आयताकार आकृति की परिधि की गणना करने के लिए, आपको इसे आयतों में विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल इस आकृति के सभी पक्षों को एक शासक (टेप माप) के साथ मापने और उनका योग खोजने की आवश्यकता है।

एक आयत का परिमाप मिमी, सेमी, मी, किमी आदि में मापा जाता है। यदि आवश्यक हो, तो कार्य में डेटा को उसी माप प्रणाली में परिवर्तित कर दिया जाता है।

एक आयत की परिधि को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है: मिमी, सेमी, मी, किमी, और इसी तरह। यदि आवश्यक हो, तो कार्य में डेटा को माप की एक प्रणाली में बदल दिया जाता है।

आकार परिधि सूत्र

यदि हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ समान हैं, तो हम आयत के परिमाप के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

$P = (a+b) * 2$, जहाँ a, b आकृति की भुजाएँ हैं।

चावल। 2. आयत, विपरीत पक्षों के साथ चिह्नित।

परिधि को खोजने का एक और तरीका है। यदि कार्य केवल एक पक्ष और आकृति का क्षेत्र दिया गया है, तो आप क्षेत्र के माध्यम से दूसरे पक्ष को व्यक्त करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। तब सूत्र इस तरह दिखेगा:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, जहां S आयत का क्षेत्रफल है।

चावल। 3. भुजाओं a, b के साथ आयत।

व्यायाम : एक आयत का परिमाप परिकलित करें यदि उसकी भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं।

समाधान:

हम सूत्र $P = (a+b)*2$ . का उपयोग करते हैं

$P = (4+6)*2=20 सेमी$

अत: आकृति का परिमाप $P = 20 cm$ है।

चूँकि परिमाप किसी आकृति की सभी भुजाओं का योग होता है, अर्ध-परिधि केवल एक लंबाई और चौड़ाई का योग होता है। परिधि प्राप्त करने के लिए अर्ध-परिधि को 2 से गुणा करें।

क्षेत्रफल और परिमाप किसी भी आकृति को मापने की दो बुनियादी अवधारणाएँ हैं। उन्हें भ्रमित नहीं होना चाहिए, हालांकि वे संबंधित हैं। यदि आप क्षेत्रफल बढ़ाते या घटाते हैं, तो, तदनुसार, इसकी परिधि बढ़ेगी या घटेगी।

अनुदेश

यदि मापा जा रहा बहुभुज नियमित है, अर्थात इसकी सभी भुजाएँ और कोण समान हैं, तो परिमाप ज्ञात करने के लिए रूलर से इसकी एक भुजा की लंबाई मापें। फिर की संख्या गिनें, जो इसकी भुजाओं की संख्या के बराबर है। परिणामी संख्या को आकृति की भुजा की लंबाई से गुणा करें। यह एक बहुभुज होगा।

यदि बहुभुज सममित है और इसमें समान पक्षों के 2 या 4 जोड़े हैं, तो पहले दोहराए जाने वाले वर्गों में से एक पर भुजाओं की लंबाई मापें। फिर प्राप्त मान जोड़ें और आकृति की परिधि प्राप्त करने के लिए, इस योग को बहुभुज में दोहराए जाने वाले भागों की संख्या से गुणा करें।

स्रोत:

• परिधि की इकाई

पंचभुज की परिधि ज्ञात करना एक ऐसा कार्य है जिसके लिए व्यापक सैद्धांतिक ज्ञान, स्थानिक और तार्किक सोच की आवश्यकता होती है। सही फैसला लेना भी जरूरी है।

आपको चाहिये होगा

• - स्मरण पुस्तक;
• - शासक;
• - पेंसिल;
• - एक कलम;
• - कैलकुलेटर।

अनुदेश

एक पंचभुज एक बहुभुज है जिसमें . पेंटागन नियमित और अनियमित होते हैं। एक नियमित पंचभुज एक उत्तल बहुभुज है जिसमें सभी भुजाएँ और सभी कोण समान होते हैं।

एक अनियमित पंचभुज एक बहुभुज है जिसकी भुजाएँ और कोण समान नहीं हैं। मूल पाठ्यक्रम में, नियमित पेंटागन को अधिक बार माना जाता है।

यदि समस्या में दिया गया है कि एक सम पंचभुज ABCDF की भुजा 5 सेमी है, तो इसका परिमाप किसके बराबर होगा?

इस स्थिति में, आप केवल पंचभुज की भुजा की लंबाई को भुजाओं की संख्या से गुणा करते हैं, क्योंकि वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं (चित्र 1)।

यदि कार्य में आप एक अनियमित पंचकोण से मिले हैं, तो आपको पहले इसके प्रत्येक पक्ष की लंबाई ज्ञात करनी होगी, और फिर उन्हें जोड़ना होगा।

कश्मीर, समस्या कहती है कि बीओ = 8, ओएफ = 4, बीसी = 7, कोण बीओए = 90, कोण ओएएम = 45, ओएम = 3, एबी = डीएफ, बीसी = सीडी। सबसे पहले, त्रिभुज AOB: BO = 8 पर विचार करें। यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि AO = OF = 4। त्रिभुज AOB है। AO और OF पैर हैं, AB कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इसलिए, AB ^2 = AO ^2 + OF ^2।

एबी ^2 = 8^2 + 4^2

एबी ^2 = 64 + 16

एबी = डीएफ = 8.94।

फिर त्रिभुज AOF पर विचार करें। AO \u003d F \u003d 4, OM \u003d 3. कोण AOB \u003d DOF \u003d 90 (जैसा कि क्रॉसवर्ड झूठ बोल रहा है)। इसलिए, एओएम \u003d बीओडी (जैसा कि झूठ बोल रहा है), और एओएम + बीओडी \u003d 360 - एओबी + डीओएफ \u003d 180। एओएम \u003d 90।

यह इस प्रकार है कि त्रिभुज AOF एक समकोण त्रिभुज है।

तो कोण एएमओ \u003d एओएम - ओएएम,

एएमओ = 90 - 45, एएमओ = 45।

अत: त्रिभुज AOF समद्विबाहु है। और समद्विबाहु त्रिभुजों में सम्मुख कोण बराबर भुजाएँ होती हैं। अत: AM = OM = 3।

अत: वायुसेना = 2AM = 6.

अब आप पंचभुज ABCDF की परिधि की गणना कर सकते हैं।

पी \u003d 8.94 * 2 + 7 * 2 + 6

एक बहुभुज में कई खंड होते हैं जो एक दूसरे से जुड़े होते हैं और एक बंद रेखा बनाते हैं। इस वर्ग के सभी आंकड़े सरल और जटिल में विभाजित हैं। साधारण लोगों में एक त्रिभुज और एक चतुर्भुज शामिल होता है, और जटिल वाले बहुभुज होते हैं जिनमें बड़ी संख्या होती है दलों, साथ ही स्टार बहुभुज।

अनुदेश

अक्सर समस्याओं में एक नियमित त्रिभुज होता है दलोंओह ए. चूंकि बहुभुज नियमित है, तो इसके तीनों दलोंस बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज की माध्यिका और ऊँचाई जानने के बाद, आप उसके सभी ज्ञात कर सकते हैं दलोंएस। ऐसा करने के लिए, खोजने की विधि का उपयोग करें दलों s : a=x/cosα. चूँकि दलोंसी ई। a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, जहां x ऊंचाई, माध्यिका या समद्विभाजक है। इसी तरह, सभी तीन अज्ञात खोजें दलोंएक समद्विबाहु त्रिभुज में, लेकिन एक शर्त के तहत - दी गई ऊंचाई। इसे त्रिभुज के आधार पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए। आधार x की ऊंचाई जानने के बाद, खोजें दलों a:a=x/cosα चूंकि a=b, चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है, इसे खोजें दलों s इस प्रकार है: a=b=x/cosα। आपके द्वारा पक्ष खोजने के बाद दलों s त्रिकोण, आधा आधार खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके त्रिभुज के आधार की लंबाई की गणना करें: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos ^2α)/cos^2α =xtgα। यहां से आधार खोजें: c=2xtgα।

वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है दलोंजिनकी गणना कई प्रकार से की जाती है। उनमें से प्रत्येक पर नीचे चर्चा की गई है। पहली विधि खोजने का सुझाव देती है दलोंएस वर्ग। चूँकि वर्ग के सभी कोण समकोण होते हैं, इसलिए उन्हें इस प्रकार समद्विभाजित करें कि दो समकोण त्रिभुज 45 डिग्री के कोणों के साथ बनते हैं। क्रमश, दलोंऔर वर्ग है: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, जहां d वर्ग है। यदि वर्ग एक वृत्त में अंकित है, तो इस वृत्त की त्रिज्या जानने के बाद, इसे खोजें दलों y:a4=R√2, जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है।

बहुत सारा दलोंबहुभुज दलों y अंतिम तरीकों की गणना करें - अंकित करके बहुभुजएक घेरे में। ऐसा करने के लिए, मनमाना के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएं दलोंएमी, और इसके चारों ओर एक त्रिज्या आर के साथ एक चक्र है। कल्पना कीजिए कि समस्या में कुछ मनमाना एन-गॉन दिया गया है। यदि वृत्त इसके चारों ओर परिबद्ध है बहुभुज, फिर खोजने के लिए दलोंआप सूत्र लागू करते हैं: an=2Rsinα/2.

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परिमाप बहुभुजइसके सभी पक्षों से बनी एक बंद टूटी हुई रेखा को बुलाओ। इस पैरामीटर की लंबाई का पता लगाना पक्षों की लंबाई के योग के लिए कम हो जाता है। यदि ऐसी द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति की परिधि बनाने वाले सभी खंडों के आयाम समान हों, तो बहुभुज को नियमित कहा जाता है। इस मामले में, परिधि की गणना बहुत सरल है।

अनुदेश

सरलतम मामले में, जब पक्ष की लंबाई (ए) सही की बहुभुजऔर इसमें शीर्षों की संख्या (n), परिधि की लंबाई (P) की गणना करने के लिए, बस इन दो मानों को गुणा करें: P \u003d a * n। उदाहरण के लिए, 15 सेमी की भुजा वाले परिमाप की लंबाई 15 * 6 = 90 सेमी के बराबर होनी चाहिए।

इसकी परिधि की गणना करें बहुभुजइसके चारों ओर परिबद्ध वृत्त की ज्ञात त्रिज्या (R) के अनुसार भी संभव है। ऐसा करने के लिए, पहले त्रिज्या और कोने की संख्या (एन) का उपयोग करके पक्ष की लंबाई व्यक्त करें, और फिर परिणामी मूल्य को पक्षों की संख्या से गुणा करें। एक भुजा की लंबाई की गणना करने के लिए, त्रिज्या को pi की ज्या से गुणा करें और शीर्षों की संख्या से विभाजित करें, और परिणाम को दोगुना करें: R*sin(π/n)*2. यदि आपके लिए त्रिकोणमितीय फलन की गणना करना अधिक सुविधाजनक है, तो पाई को 180°: R*sin(180°/n)*2 से बदलें। प्राप्त मान को कोने की संख्या से गुणा करके परिधि की गणना करें: P \u003d R * sin (π / n) * 2 * n \u003d R * sin (180 ° / n) * 2 * n। उदाहरण के लिए, यदि एक षट्भुज को 50 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित किया जाता है, तो इसकी परिधि 50*sin(180°/6)*2*6 = 50*0.5*12 = 300 cm होगी।

इसी तरह, आप सही की भुजा की लंबाई जाने बिना परिधि कर सकते हैं बहुभुज, यदि यह ज्ञात त्रिज्या (r) वाले वृत्त के निकट है। इस मामले में, आकृति के पक्ष के आकार की गणना करने के लिए, यह केवल शामिल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन द्वारा पिछले वाले से भिन्न होगा। सूत्र में ज्या को स्पर्शरेखा से बदलें