एक ज्यामितीय प्रगति के योग का रूप। ज्यामितीय अनुक्रम। समाधान उदाहरण

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्या अनुक्रम। ज्यामितीय प्रगति"

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दोस्तों, आज हम एक अन्य प्रकार की प्रगति से परिचित होंगे।
आज के पाठ का विषय ज्यामितीय प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम

उदाहरण। 1,2,4,8,16… ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला सदस्य एक के बराबर है, और $q=2$।

उदाहरण। 8,8,8,8... एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका प्रथम पद आठ है,
और $q=1$।

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3... एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका प्रथम पद तीन है,
और $q=-1$।

ज्यामितीय प्रगति में एकरसता के गुण होते हैं।
अगर $b_(1)>0$, $q>1$,
फिर क्रम बढ़ रहा है।
अगर $b_(1)>0$, $0 अनुक्रम को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$।

एक अंकगणितीय प्रगति की तरह, यदि एक ज्यामितीय प्रगति में तत्वों की संख्या सीमित है, तो प्रगति को एक सीमित ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$।
ध्यान दें कि यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्ग पदों का अनुक्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है। दूसरे क्रम में पहला पद $b_(1)^2$ और हर $q^2$ है।

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

आइए अपने उदाहरणों पर वापस जाएं।

उदाहरण। 1,2,4,8,16… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद एक के बराबर है,
और $q=2$।
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$।

उदाहरण। 16,8,4,2,1,1/2… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद सोलह है और $q=\frac(1)(2)$।
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$।

उदाहरण। 8,8,8,8… एक ज्यामितीय प्रगति जहां पहला पद आठ और $q=1$ है।
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$।

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद तीन और $q=-1$ है।
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$।

उदाहरण। एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $।
क) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=3$। $b_(5)$ खोजें।
बी) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$। एन खोजें।
ग) यह ज्ञात है कि $q=-2, b_(6)=96$। $b_(1)$ खोजें।
घ) यह ज्ञात है कि $b_(1)=-2, b_(12)=4096$। क्यू खोजें।

समाधान।
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$।
बी) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$।
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ चूंकि $2^7=128 => n-1=7; एन = 8 $।
ग) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$।
घ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$।

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति के सातवें और पांचवें सदस्यों के बीच का अंतर 192 है, प्रगति के पांचवें और छठे सदस्यों का योग 192 है। इस प्रगति के दसवें सदस्य का पता लगाएं।

समाधान।
हम जानते हैं कि: $b_(7)-b_(5)=192$ और $b_(5)+b_(6)=192$।
हम यह भी जानते हैं: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$।
फिर:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$।
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$।
हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$।
समीकरण करने पर, हमारे समीकरण प्राप्त होते हैं:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$।
$q^2-1=q+1$।
$q^2-q-2=0$।
हमें दो समाधान मिले q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$।
दूसरे समीकरण में क्रमिक रूप से रखें:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$।
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ कोई समाधान नहीं।
हमें वह मिला: $b_(1)=4, q=2$।
आइए दसवां पद खोजें: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$।

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति का योग

चलो एक सीमित ज्यामितीय प्रगति दी जाती है: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$।
आइए इसके सदस्यों के योग के लिए अंकन का परिचय दें: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$।
मामले में जब $q=1$. ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य पहले सदस्य के बराबर हैं, तो यह स्पष्ट है कि $S_(n)=n*b_(1)$।
अब मामले पर विचार करें $q≠1$।
उपरोक्त राशि को q से गुणा करें।
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$।
टिप्पणी:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$।
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$।

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$।

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$।

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$।

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$।

हमने एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र प्राप्त किया है।

समाधान।
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$।

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ सदस्य ज्ञात कीजिए, जो ज्ञात है: $b_(1)=-3$; $बी_(एन)=-3072$; $S_(n)=-4095$।

समाधान।
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$।
$q^(n-1)=1024$।
$q^(n)=1024q$।

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$।
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$।
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$।
$1365q-1365=1024q-1$।
$341q=1364$।
$क्यू = 4$।
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$।

एक ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति

एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति तभी होती है जब उसके प्रत्येक पद का वर्ग उसके दो पड़ोसी पदों के गुणनफल के बराबर हो। यह मत भूलो कि एक सीमित प्रगति के लिए यह शर्त पहले और आखिरी कार्यकाल के लिए संतुष्ट नहीं है।

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मापांक उसके आसन्न दो सदस्यों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

समाधान।
आइए विशेषता संपत्ति का उपयोग करें:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$।
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$।
$x^2-x-2=0$।
$x_(1)=2$ और $x_(2)=-1$।
मूल अभिव्यक्ति में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करें, हमारे समाधान:
$x=2$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 4;6;9 $q=1.5$ के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।
$x=-1$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 1;0;0।
उत्तर: $x=2.$

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

अब एक अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग के प्रश्न पर विचार करें। आइए हम दी गई अनंत प्रगति के आंशिक योग को इसके प्रथम पदों का योग कहते हैं। आंशिक योग को प्रतीक द्वारा निरूपित करें

हर अनंत प्रगति के लिए

कोई अपनी आंशिक राशियों का एक (अनंत भी) अनुक्रम बना सकता है

मान लीजिए कि असीमित वृद्धि वाले अनुक्रम की एक सीमा होती है

इस मामले में, संख्या S, यानी प्रगति के आंशिक योगों की सीमा, अनंत प्रगति का योग कहलाती है। हम साबित करेंगे कि एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का हमेशा योग होता है, और इस योग के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है (हम यह भी दिखा सकते हैं कि अनंत प्रगति के लिए कोई योग नहीं है, मौजूद नहीं है)।

हम आंशिक योग के लिए सूत्र (91.1) के अनुसार प्रगति के सदस्यों के योग के रूप में लिखते हैं और आंशिक योग की सीमा पर विचार करते हैं

मद 89 के प्रमेय से ज्ञात होता है कि घटती प्रगति के लिए; इसलिए, अंतर सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं

(यहां नियम का भी उपयोग किया जाता है: स्थिर कारक सीमा के संकेत से लिया जाता है)। अस्तित्व सिद्ध हो जाता है, और साथ ही एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र प्राप्त होता है:

समानता (92.1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

यहां यह विरोधाभासी लग सकता है कि एक अच्छी तरह से परिभाषित परिमित मान को अनंत शब्दों के योग के लिए सौंपा गया है।

इस स्थिति को स्पष्ट करने के लिए एक स्पष्ट उदाहरण दिया जा सकता है। एक वर्ग पर विचार करें जिसकी भुजा एक के बराबर हो (चित्र 72)। आइए हम इस वर्ग को एक क्षैतिज रेखा से दो बराबर भागों में विभाजित करें और ऊपरी भाग को निचले हिस्से पर लागू करें ताकि एक आयत का निर्माण 2 और पक्षों के साथ हो। उसके बाद, हम फिर से इस आयत के दाहिने आधे हिस्से को एक क्षैतिज रेखा से आधे में विभाजित करते हैं और ऊपरी हिस्से को निचले हिस्से से जोड़ते हैं (जैसा कि चित्र 72 में दिखाया गया है)। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम लगातार 1 के बराबर क्षेत्रफल वाले मूल वर्ग को समान आकार के आंकड़ों में बदल रहे हैं (पतले कदमों के साथ सीढ़ी का रूप लेते हुए)।

इस प्रक्रिया की एक अनंत निरंतरता के साथ, वर्ग का पूरा क्षेत्र अनंत शब्दों में विघटित हो जाता है - आयतों के क्षेत्र जिनके आधार 1 और ऊंचाई के बराबर होते हैं। आयतों के क्षेत्र केवल एक अनंत घटती प्रगति का निर्माण करते हैं, इसका योग

यानी, जैसा कि अपेक्षित था, वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

उदाहरण। निम्नलिखित अनंत प्रगति का योग ज्ञात कीजिए:

हल, क) हम देखते हैं कि यह प्रगति इसलिए, सूत्र (92.2) से हम पाते हैं

ख) यहाँ इसका अर्थ है कि उसी सूत्र (92.2) से हमारे पास है

ग) हम पाते हैं कि यह प्रगति इसलिए, इस प्रगति का कोई योग नहीं है।

धारा 5 में, एक आवर्ती दशमलव भिन्न को एक साधारण भिन्न में बदलने के लिए अनंत रूप से घटती प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का अनुप्रयोग दिखाया गया था।

अभ्यास

1. एक अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग 3/5 है, और इसके पहले चार पदों का योग 13/27 है। प्रगति का पहला पद और हर ज्ञात कीजिए।

2. ऐसी चार संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो एक प्रत्यावर्ती गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं, जिसमें दूसरा पद पहले पद से 35 कम है, और तीसरा चौथे से 560 अधिक है।

3. दिखाओ क्या होगा अगर अनुक्रम

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति बनाता है, फिर अनुक्रम

किसी भी रूप के लिए एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। क्या यह दावा सही है

एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के उत्पाद के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

पहले से ही प्राचीन मिस्र में, वे न केवल अंकगणित, बल्कि ज्यामितीय प्रगति भी जानते थे। यहाँ, उदाहरण के लिए, Rhind पपीरस से एक कार्य है: “सात चेहरों में सात बिल्लियाँ हैं; प्रत्येक बिल्ली सात चूहे खाती है, प्रत्येक चूहा मकई के सात कान खाता है, प्रत्येक कान जौ के सात उपाय उगा सकता है। इस श्रृंखला में कितनी बड़ी संख्याएँ हैं और उनका योग क्या है?

चावल। 1. प्राचीन मिस्र की ज्यामितीय प्रगति समस्या

यह कार्य अन्य समयों में अन्य लोगों के बीच भिन्न भिन्नताओं के साथ कई बार दोहराया गया था। उदाहरण के लिए, XIII सदी में लिखित में। पीसा (फिबोनाची) के लियोनार्डो द्वारा "बुक ऑफ द एबैकस" में एक समस्या है जिसमें 7 बूढ़ी महिलाएं रोम (जाहिर तौर पर तीर्थयात्री) के रास्ते में दिखाई देती हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 खच्चर हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 बैग हैं, जिनमें से प्रत्येक 7 रोटियां हैं, जिनमें से प्रत्येक में 7 चाकू हैं, जिनमें से प्रत्येक 7 म्यान में है। समस्या पूछती है कि कितने आइटम हैं।

ज्यामितीय प्रगति S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) के पहले n सदस्यों का योग। उदाहरण के लिए, इस सूत्र को इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

आइए संख्या b 1 q n को S n में जोड़ें और प्राप्त करें:

इसलिए एस एन (क्यू -1) = बी 1 (क्यू एन -1), और हमें आवश्यक सूत्र मिलता है।

पहले से ही प्राचीन बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों में से एक पर, छठी शताब्दी में वापस डेटिंग। ईसा पूर्व ई. में 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 का योग होता है। सच है, जैसा कि कई अन्य मामलों में होता है, हम नहीं जानते कि यह तथ्य बेबीलोनियों को कहाँ पता था। .

कई संस्कृतियों में, विशेष रूप से, भारत में, ज्यामितीय प्रगति का तेजी से विकास, ब्रह्मांड की विशालता के स्पष्ट प्रतीक के रूप में बार-बार उपयोग किया जाता है। शतरंज की उपस्थिति के बारे में प्रसिद्ध किंवदंती में, शासक अपने आविष्कारक को खुद एक इनाम चुनने का मौका देता है, और वह गेहूं के इतने अनाज मांगता है कि अगर एक को पहले सेल पर रखा जाता है तो प्राप्त होगा शतरंज की बिसात, दूसरे पर दो, तीसरे पर चार, चौथे पर आठ, आदि, हर बार संख्या दोगुनी हो जाती है। व्लादिका ने सोचा कि यह, अधिक से अधिक, कुछ बोरे थे, लेकिन उन्होंने गलत अनुमान लगाया। यह देखना आसान है कि शतरंज की बिसात के सभी 64 वर्गों के लिए आविष्कारक को (2 64 - 1) अनाज प्राप्त होना चाहिए, जिसे 20 अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है; भले ही पृथ्वी की पूरी सतह को बो दिया गया हो, फिर भी आवश्यक संख्या में अनाज इकट्ठा करने में कम से कम 8 साल लगेंगे। इस किंवदंती को कभी-कभी शतरंज के खेल में छिपी लगभग असीमित संभावनाओं के संदर्भ के रूप में व्याख्यायित किया जाता है।

तथ्य यह है कि यह संख्या वास्तव में 20 अंकों की है, यह देखना आसान है:

2 64 \u003d 2 4 (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (अधिक सटीक गणना 1.84 10 19) देती है। लेकिन मुझे आश्चर्य है कि क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि यह संख्या किस अंक पर समाप्त होती है?

एक ज्यामितीय प्रगति बढ़ रही है यदि निरपेक्ष मान में हर 1 से अधिक है, या यदि यह एक से कम है तो घट रहा है। बाद के मामले में, संख्या q n पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए मनमाने ढंग से छोटी हो सकती है। जबकि एक बढ़ता हुआ घातांक अप्रत्याशित रूप से तेजी से बढ़ता है, एक घटती हुई घातांक उतनी ही तेजी से घटती है।

बड़ा n, कमजोर संख्या q n शून्य से भिन्न होता है, और ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों का योग S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) संख्या S \u003d b 1 के करीब होता है। / (1 - क्यू)। (इसलिए तर्क दिया, उदाहरण के लिए, एफ। वियत)। संख्या S को अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग कहा जाता है। हालांकि, कई शताब्दियों के लिए, सभी ज्यामितीय प्रगति के योग का अर्थ क्या है, इसकी अनंत संख्या के साथ, यह प्रश्न गणितज्ञों के लिए पर्याप्त स्पष्ट नहीं था।

एक घटती हुई ज्यामितीय प्रगति देखी जा सकती है, उदाहरण के लिए, ज़ेनो के एपोरियास "बाइटिंग" और "अकिलीज़ एंड द कछुआ" में। पहले मामले में, यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि पूरी सड़क (लंबाई 1 मान लें) 1/2, 1/4, 1/8, आदि की अनंत संख्या का योग है। यह निश्चित रूप से मामला है परिमित योग अनंत ज्यामितीय प्रगति के बारे में विचारों का दृष्टिकोण। और फिर भी - यह कैसे हो सकता है?

अकिलीज़ के बारे में एपोरिया में, स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है, क्योंकि यहाँ प्रगति का हर 1/2 के बराबर नहीं है, बल्कि किसी अन्य संख्या के बराबर है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, अकिलीज़ गति v से दौड़ता है, कछुआ u गति से चलता है, और उनके बीच की प्रारंभिक दूरी l है। अकिलीज़ इस दूरी को l/v समय में चलाएगा, कछुआ इस दौरान lu/v की दूरी तय करेगा। जब अकिलीज़ इस खंड से होकर गुजरता है, तो उसके और कछुए के बीच की दूरी l (u / v) 2, आदि के बराबर हो जाएगी। यह पता चला है कि कछुए को पकड़ने का अर्थ है पहले के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग खोजना पद l और हर u / v। यह योग - वह खंड जिसे अकिलीज़ अंततः कछुए के साथ बैठक स्थल तक चलाएगा - बराबर है l / (1 - u / v) = lv / (v - u) । लेकिन, फिर से, इस परिणाम की व्याख्या कैसे की जानी चाहिए और इसका कोई मतलब क्यों है, यह लंबे समय तक स्पष्ट नहीं था।

एक परवलय के एक खंड के क्षेत्र का निर्धारण करते समय आर्किमिडीज द्वारा ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग किया गया था। परवलय के दिए गए खंड को जीवा AB द्वारा सीमांकित किया जाए और परवलय के बिंदु D पर स्पर्शरेखा को AB के समानांतर होने दें। मान लीजिए C AB का मध्यबिंदु है, E AC का मध्यबिंदु है, F CB का मध्यबिंदु है। बिंदु A , E , F , B से होकर DC के समांतर रेखाएँ खींचिए; मान लीजिए कि बिंदु D पर खींची गई स्पर्शरेखा ये रेखाएं K, L, M, N पर प्रतिच्छेद करती हैं। आइए खंड AD और DB भी बनाते हैं। मान लीजिए कि रेखा EL, रेखा AD को बिंदु G पर और परवलय को बिंदु H पर काटती है; रेखा FM रेखा DB को बिंदु Q पर और परवलय को बिंदु R पर प्रतिच्छेद करती है। शंकु वर्गों के सामान्य सिद्धांत के अनुसार, डीसी एक परवलय का व्यास है (अर्थात, अपनी धुरी के समानांतर एक खंड); यह और बिंदु D पर स्पर्शरेखा समन्वय अक्ष x और y के रूप में काम कर सकती है, जिसमें परवलय समीकरण y 2 \u003d 2px के रूप में लिखा जाता है (x किसी दिए गए व्यास के किसी भी बिंदु से D की दूरी है, y लंबाई की लंबाई है व्यास के इस बिंदु से परवलय के किसी बिंदु तक किसी दिए गए स्पर्शरेखा के समानांतर खंड)।

परवलय समीकरण के आधार पर, DL 2 = 2 p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , और चूंकि DK = 2DL , तो KA = 4LH। चूंकि केए = 2 एलजी, एलएच = एचजी। परवलय के खंड ADB का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔADB के क्षेत्रफल और संयुक्त AHD और DRB खंडों के क्षेत्रफल के बराबर है। बदले में, खंड AHD का क्षेत्र समान रूप से त्रिभुज AHD और शेष खंडों AH और HD के क्षेत्र के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक के साथ एक ही ऑपरेशन किया जा सकता है - एक त्रिकोण (Δ) में विभाजित और दो शेष खंड (), आदि:

त्रिभुज ΔAHD का क्षेत्रफल त्रिभुज ΔALD के आधे क्षेत्रफल के बराबर है (उनके पास एक सामान्य आधार AD है, और ऊँचाई 2 गुना भिन्न है), जो बदले में, के आधे क्षेत्र के बराबर है त्रिभुज ΔAKD, और इसलिए त्रिभुज ΔACD का आधा क्षेत्रफल। इस प्रकार त्रिभुज AHD का क्षेत्रफल त्रिभुज ACD के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर होता है। इसी प्रकार त्रिभुज ΔDRB का क्षेत्रफल त्रिभुज DFB के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर होता है। अत: त्रिभुज ∆AHD और ∆DRB का क्षेत्रफल मिलाकर, त्रिभुज ADB के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है। एएच, एचडी, डीआर और आरबी खंडों पर लागू इस ऑपरेशन को दोहराते हुए भी उनमें से त्रिकोण का चयन किया जाएगा, जिसका क्षेत्रफल, एक साथ लिया गया, त्रिभुज ΔAHD और ΔDRB के क्षेत्रफल से 4 गुना कम होगा। एक साथ, और इसलिए त्रिभुज ΔADB के क्षेत्रफल से 16 गुना कम। और इसी तरह:

इस प्रकार, आर्किमिडीज ने साबित किया कि "एक सीधी रेखा और एक परवलय के बीच घिरा प्रत्येक खंड एक त्रिभुज का चार-तिहाई होता है जिसका आधार समान होता है और इसके साथ समान ऊंचाई होती है।"

आइए एक श्रृंखला पर विचार करें।

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले की तुलना में ठीक चार गुना अधिक है। तो यह श्रृंखला एक प्रगति है।

एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत क्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या पिछले एक से किसी विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है। इसे निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है।

a z +1 =a z q, जहाँ z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, जेड एन।

जिस अवधि में स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह कक्षा 9 है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर निम्नानुसार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही b z शून्य हो सकता है। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक अवयव शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, श्रृंखला में अगली संख्या का पता लगाने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, बाद के किसी भी शब्द और उनके योग को खोजना संभव है।

किस्मों

q और a 1 के आधार पर, यह प्रगति कई प्रकारों में विभाजित है:

• यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ रहा है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• अगर |क्यू| एक से कम, यानी इसका गुणा भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

• साइन-चर। अगर क्यू<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3 , q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर अनुक्रम इस तरह लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

• जेड-वें सदस्य का सूत्र। आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना एक विशिष्ट संख्या के तहत तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, एक 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

समाधान:एक 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• पहले तत्वों का योग जिनकी संख्या है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक ज़ूसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - q)≠ 0, इसलिए q 1 के बराबर नहीं है।

नोट: यदि q=1, तो प्रगति एक अपरिमित रूप से दोहराई जाने वाली संख्या की एक श्रृंखला होगी।

एक ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:एक 1 = 2, क्यू= -2। एस 5 की गणना करें।

समाधान:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

• राशि अगर |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:एक 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिए।

समाधान:स्ज़ू = 2 · = 4

स्ज़ू = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति। यदि निम्न स्थिति किसी के लिए प्रदर्शन कियाजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक ज़ू 2 = एक ज़ू -1 · एकजेड+1

• इसके अलावा, एक ज्यामितीय प्रगति की किसी भी संख्या का वर्ग एक दी गई श्रृंखला में किन्हीं अन्य दो संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक ज़ू 2 = एक ज़ू - टी 2 + एक ज़ू + टी 2 , कहाँ पेटीइन संख्याओं के बीच की दूरी है।

• तत्वोंक्यू में भिन्नएक बार।
• प्रगति तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणित, यानी उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से बड़ा है।

कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, ग्रेड 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• शर्तें:एक 1 = 3, एक 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले एक से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

फलस्वरूप,एक 3 = क्यू 2 · एक 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

• शर्तें:एक 2 = 6, एक 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

समाधान:ऐसा करने के लिए, पहले तत्व q को खोजने और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है।

एक 3 = क्यू· एक 2 , फलस्वरूप,क्यू= 2

ए 2 = क्यू एक 1,इसीलिए एक 1 = 3

एस 6 = 189

• · एक 1 = 10, क्यू= -2। प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।

हल: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक के ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत ग्राहक हर साल इसका 6% मूल राशि में जोड़ देगा। 4 साल बाद खाते में कितना पैसा आएगा?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश के एक साल बाद, खाते में 10,000 + 10,000 . के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि निम्नानुसार व्यक्त की जाएगी:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

यानी हर साल यह राशि 1.06 गुना बढ़ जाती है। इसका मतलब यह है कि 4 साल बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो पहले तत्व द्वारा 10 हजार के बराबर और हर 1.06 के बराबर है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न समस्याओं में, एक ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

एक 1 = 4, क्यू= 2, गणनाS5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में बदलने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• एक 2 = 6, एक 3 = 18. पहले छह तत्वों के योग की गणना करें।

समाधान:

जियोम। प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक की तुलना में q गुना अधिक है, अर्थात योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाएक 1 और हरक्यू.

एक 2 · क्यू = एक 3

क्यू = 3

इसी तरह, हमें खोजने की जरूरत हैएक 1 , जाननाएक 2 तथाक्यू.

एक 1 · क्यू = एक 2

एक 1 =2

एस 6 = 728.

एक ज्यामितीय प्रगति एक नए प्रकार का संख्या अनुक्रम है जिससे हमें परिचित होना है। एक सफल परिचित के लिए, कम से कम जानने और समझने में कोई दिक्कत नहीं होती है। तब ज्यामितीय प्रगति में कोई समस्या नहीं होगी।)

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है? ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा।

हम दौरे की शुरुआत, हमेशा की तरह, प्राथमिक के साथ करते हैं। मैं संख्याओं का अधूरा क्रम लिखता हूँ:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

क्या आप एक पैटर्न पकड़ सकते हैं और बता सकते हैं कि कौन सी संख्याएं आगे बढ़ेंगी? काली मिर्च साफ है, संख्या 100000, 1000000 और आगे भी जाएगी। बहुत अधिक मानसिक तनाव के बिना भी, सब कुछ स्पष्ट है, है ना?)

ठीक है। एक और उदाहरण। मैं निम्नलिखित अनुक्रम लिखता हूं:

1, 2, 4, 8, 16, …

क्या आप बता सकते हैं कि 16 नंबर और नाम के बाद कौन सी संख्याएं आगे बढ़ेंगी? आठवाँअनुक्रम सदस्य? अगर आपको लगा कि यह 128 नंबर होगा, तो बहुत अच्छा है। तो आधी लड़ाई समझ में है अर्थतथा प्रमुख बिंदुज्यामितीय प्रगति पहले ही हो चुकी है। आप आगे बढ़ सकते हैं।)

और अब हम फिर से संवेदनाओं से कठोर गणित की ओर मुड़ते हैं।

ज्यामितीय प्रगति के प्रमुख क्षण।

महत्वपूर्ण क्षण #1

ज्यामितीय प्रगति है संख्याओं का क्रम।प्रगति के रूप में है। कुछ भी पेचीदा नहीं। बस इस क्रम को व्यवस्थित किया अलग ढंग से।इसलिए, निश्चित रूप से, इसका एक और नाम है, हाँ ...

महत्वपूर्ण क्षण #2

दूसरे मुख्य बिंदु के साथ, प्रश्न अधिक कठिन होगा। आइए थोड़ा पीछे चलते हैं और एक अंकगणितीय प्रगति की प्रमुख संपत्ति को याद करते हैं। यह रहा: प्रत्येक सदस्य पिछले एक से अलग है उसी राशि से।

क्या ज्यामितीय प्रगति के लिए एक समान महत्वपूर्ण संपत्ति तैयार करना संभव है? ज़रा सोचिए... दिए गए उदाहरणों पर एक नज़र डालिए। अनुमान लगाया? हाँ! एक ज्यामितीय प्रगति में (कोई भी!) इसके प्रत्येक सदस्य पिछले एक से भिन्न होते हैं एक ही संख्या में बार।हमेशा से रहा है!

पहले उदाहरण में, यह संख्या दस है। आप अनुक्रम का जो भी पद लें, वह पिछले वाले से बड़ा है दस गुना।

दूसरे उदाहरण में, यह एक दो है: प्रत्येक सदस्य पिछले एक से बड़ा है। दो बार।

यह इस महत्वपूर्ण बिंदु में है कि ज्यामितीय प्रगति अंकगणित से भिन्न होती है। एक समान्तर श्रेणी में, प्रत्येक अगला पद प्राप्त होता है जोड़नेपिछले कार्यकाल के समान मूल्य का। और यहाँ - गुणाउसी राशि से पिछला कार्यकाल। यही अंतर है।)

महत्वपूर्ण क्षण #3

यह मुख्य बिंदु अंकगणितीय प्रगति के लिए पूरी तरह से समान है। अर्थात्: ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने स्थान पर है।सब कुछ ठीक वैसा ही है जैसा कि अंकगणितीय प्रगति और टिप्पणियों में, मुझे लगता है, अनावश्यक हैं। पहला पद है, एक सौ और पहला है, इत्यादि। आइए कम से कम दो सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित करें - पैटर्न (और इसके साथ ज्यामितीय प्रगति) गायब हो जाएगा। जो बचता है वह बिना किसी तर्क के केवल संख्याओं का एक क्रम है।

बस इतना ही। यही ज्यामितीय प्रगति का पूरा बिंदु है।

शर्तें और पदनाम।

और अब, ज्यामितीय प्रगति के अर्थ और प्रमुख बिंदुओं से निपटने के बाद, हम सिद्धांत पर आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, अर्थ समझे बिना सिद्धांत क्या है, है ना?

एक ज्यामितीय प्रगति क्या है?

ज्यामितीय प्रगति को सामान्य शब्दों में कैसे लिखा जाता है? कोई बात नहीं! प्रगति के प्रत्येक सदस्य को एक पत्र के रूप में भी लिखा जाता है। केवल अंकगणितीय प्रगति के लिए, आमतौर पर अक्षर का प्रयोग किया जाता है "एक", ज्यामितीय के लिए - अक्षर "बी"। सदस्य संख्या, हमेशा की तरह, इंगित किया गया है निचला दायां सूचकांक. प्रगति के सदस्यों को केवल अल्पविराम या अर्धविराम से अलग करके सूचीबद्ध किया जाता है।

ऐशे ही:

बी1,बी 2 , बी 3 , बी 4 , बी 5 , बी 6 , …

संक्षेप में, ऐसी प्रगति इस प्रकार लिखी जाती है: (बी नहीं) .

या इस तरह, सीमित प्रगति के लिए:

बी 1, बी 2, बी 3, बी 4, बी 5, बी 6।

बी 1, बी 2, ..., बी 29, बी 30।

या, संक्षेप में:

(बी नहीं), एन=30 .

वह, वास्तव में, सभी पदनाम हैं। सब कुछ समान है, केवल अक्षर अलग है, हाँ।) और अब हम सीधे परिभाषा पर जाते हैं।

एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा।

एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक बाद का पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

यही पूरी परिभाषा है। अधिकांश शब्द और वाक्यांश आपके लिए स्पष्ट और परिचित हैं। जब तक, निश्चित रूप से, आप "उंगलियों पर" और सामान्य रूप से एक ज्यामितीय प्रगति का अर्थ नहीं समझते हैं। लेकिन कुछ नए वाक्यांश भी हैं जिन पर मैं विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा।

सबसे पहले, शब्द: "जिसका पहला कार्यकाल शून्य से अलग".

पहले कार्यकाल पर यह प्रतिबंध संयोग से नहीं लगाया गया था। आपको क्या लगता है अगर पहला टर्म बी 1 शून्य हो जाता है? यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है तो दूसरा पद क्या होगा? एक ही संख्या में बार?चलो तीन बार कहते हैं? आइए देखते हैं... पहले पद (अर्थात 0) को 3 से गुणा करें और प्राप्त करें... शून्य! और तीसरा सदस्य? शून्य भी! और चौथा पद भी शून्य है! और इसी तरह…

हमें बस बैगेल का एक बैग शून्य का एक क्रम मिलता है:

0, 0, 0, 0, …

बेशक, इस तरह के अनुक्रम को जीवन का अधिकार है, लेकिन यह व्यावहारिक हित का नहीं है। सब कुछ इतना स्पष्ट है। इसका कोई भी सदस्य शून्य है। सदस्यों की किसी भी संख्या का योग भी शून्य होता है... आप इससे क्या दिलचस्प बातें कर सकते हैं? कुछ भी तो नहीं…

निम्नलिखित कीवर्ड: "एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा"।

इसी अंक का अपना एक विशेष नाम भी है - एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक. आइए डेटिंग शुरू करें।)

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक।

सब कुछ सरल है।

एक ज्यामितीय प्रगति का हर एक गैर-शून्य संख्या (या मान) है जो दर्शाता हैकितनी बारप्रगति के प्रत्येक सदस्य पिछले एक से अधिक।

फिर से, अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप, इस परिभाषा में ध्यान देने वाला मुख्य शब्द शब्द है "अधिक". इसका अर्थ है कि ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणाइसी भाजक को पिछला सदस्य।

मैंने समझाया।

गणना करने के लिए, मान लें दूसरासदस्य लेने के लिए सबसे पहलासदस्य और गुणायह भाजक को। गणना के लिए दसवांसदस्य लेने के लिए नौवांसदस्य और गुणायह भाजक को।

ज्यामितीय प्रगति का भाजक स्वयं कुछ भी हो सकता है। बिल्कुल कोई! पूर्णांक, भिन्नात्मक, धनात्मक, ऋणात्मक, अपरिमेय - सभी। शून्य को छोड़कर। परिभाषा में "गैर-शून्य" शब्द हमें इसके बारे में बताता है। यहाँ इस शब्द की आवश्यकता क्यों है - उस पर और बाद में।

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजकआमतौर पर एक पत्र द्वारा दर्शाया जाता है क्यू.

इसे कैसे खोजें क्यू? कोई बात नहीं! हमें प्रगति की कोई भी अवधि लेनी चाहिए और पिछले पद से विभाजित करें. डिवीजन is अंश. इसलिए नाम - "प्रगति का भाजक।" भाजक, यह आमतौर पर एक अंश में बैठता है, हाँ ...) हालांकि, तार्किक रूप से, मान क्यूबुलाया जाना चाहिए निजीज्यामितीय प्रगति, के समान अंतरएक अंकगणितीय प्रगति के लिए। लेकिन कॉल करने के लिए राजी हो गया भाजक. और हम पहिए को फिर से नहीं खोजेंगे।)

आइए हम परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, मान क्यूइस ज्यामितीय प्रगति के लिए:

2, 6, 18, 54, …

सब कुछ प्राथमिक है। हम लेते हैं कोईक्रम संख्या। हम जो चाहते हैं वही हम लेते हैं। पहले वाले को छोड़कर। उदाहरण के लिए, 18. और द्वारा विभाजित करें पिछली संख्या. यानी 6 बजे।

हम पाते हैं:

क्यू = 18/6 = 3

बस इतना ही। यह सही जवाब है। दी गई ज्यामितीय प्रगति के लिए, हर तीन है।

आइए हर का पता लगाएं क्यूएक और ज्यामितीय प्रगति के लिए। उदाहरण के लिए, इस तरह:

1, -2, 4, -8, 16, …

सब एक जैसे। सदस्यों के पास जो भी संकेत हैं, हम अभी भी लेते हैं कोईअनुक्रम संख्या (उदाहरण के लिए, 16) और द्वारा विभाजित करें पिछली संख्या(यानी -8)।

हम पाते हैं:

डी = 16/(-8) = -2

और बस।) इस बार प्रगति का हर नकारात्मक निकला। माइनस टू। हो जाता है।)

आइए इस प्रगति को लें:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

और फिर, अनुक्रम में संख्याओं के प्रकार (यहां तक ​​​​कि पूर्णांक, यहां तक ​​​​कि आंशिक, यहां तक ​​​​कि नकारात्मक, यहां तक ​​​​कि अपरिमेय) की परवाह किए बिना, हम कोई भी संख्या लेते हैं (उदाहरण के लिए, 1/9) और पिछली संख्या (1/3) से विभाजित करते हैं। अंशों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

हम पाते हैं:

बस इतना ही।) यहाँ भाजक भिन्नात्मक निकला: क्यू = 1/3.

लेकिन आप जैसी "प्रगति"?

3, 3, 3, 3, 3, …

जाहिर है यहाँ क्यू = 1 . औपचारिक रूप से, यह भी एक ज्यामितीय प्रगति है, केवल के साथ वही सदस्य।) लेकिन इस तरह की प्रगति अध्ययन और व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए दिलचस्प नहीं है। ठोस शून्य के साथ प्रगति की तरह। इसलिए, हम उन पर विचार नहीं करेंगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रगति का हर कुछ भी हो सकता है - पूर्णांक, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक - कुछ भी! यह सिर्फ शून्य नहीं हो सकता। अनुमान नहीं लगाया क्यों?

खैर, आइए कुछ विशिष्ट उदाहरण देखें, यदि हम हर के रूप में लेते हैं तो क्या होगा क्यूशून्य।) आइए, उदाहरण के लिए, है बी 1 = 2 , एक क्यू = 0 . तब दूसरा कार्यकाल क्या होगा?

हमें यकीन है:

बी 2 = बी 1 · क्यू= 2 0 = 0

और तीसरा सदस्य?

बी 3 = बी 2 · क्यू= 0 0 = 0

ज्यामितीय प्रगति के प्रकार और व्यवहार।

सब कुछ कमोबेश स्पष्ट था: यदि प्रगति में अंतर है डीसकारात्मक है, प्रगति बढ़ रही है। यदि अंतर ऋणात्मक है, तो प्रगति कम हो जाती है। केवल दो विकल्प हैं। कोई तीसरा नहीं है।)

लेकिन एक ज्यामितीय प्रगति के व्यवहार के साथ, सब कुछ बहुत अधिक रोचक और विविध होगा!)

जैसे ही सदस्य यहां व्यवहार करते हैं: वे बढ़ते और घटते हैं, और अनिश्चित काल तक शून्य तक पहुंचते हैं, और यहां तक ​​​​कि संकेत भी बदलते हैं, बारी-बारी से या तो "प्लस" या "माइनस" की ओर भागते हैं! और इस सारी विविधता को अच्छी तरह से समझने में सक्षम होना चाहिए, हाँ...

हम समझते हैं?) आइए सबसे सरल मामले से शुरू करते हैं।

हर सकारात्मक है ( क्यू >0)

एक सकारात्मक हर के साथ, सबसे पहले, एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य जा सकते हैं प्लस इन्फिनिटी(अर्थात अनिश्चित काल के लिए वृद्धि) और में जा सकते हैं माइनस इन्फिनिटी(यानी अनिश्चित काल के लिए कमी)। हम पहले से ही प्रगति के ऐसे व्यवहार के अभ्यस्त हो चुके हैं।

उदाहरण के लिए:

(बी नहीं): 1, 2, 4, 8, 16, …

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रगति का प्रत्येक सदस्य है पिछले से अधिक. और प्रत्येक सदस्य को मिलता है गुणापिछले सदस्य सकारात्मकसंख्या +2 (अर्थात क्यू = 2 ) इस तरह की प्रगति का व्यवहार स्पष्ट है: प्रगति के सभी सदस्य अंतरिक्ष में जाकर अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं। प्लस अनंत...

अब यहाँ प्रगति है:

(बी नहीं): -1, -2, -4, -8, -16, …

यहाँ भी, प्रगती का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य सकारात्मकसंख्या +2। लेकिन इस तरह की प्रगति का व्यवहार पहले से ही सीधे विपरीत है: प्रगति के प्रत्येक सदस्य को प्राप्त होता है पिछले से कम, और इसके सभी पद अनिश्चित काल के लिए कम हो जाते हैं, शून्य से अनंत तक जा रहे हैं।

अब आइए सोचें: इन दोनों प्रगतियों में क्या समानता है? यह सही है, भाजक! इधर - उधर क्यू = +2 . सकारात्मक संख्या।ड्यूस। परंतु व्‍यवहारये दो प्रगति मौलिक रूप से भिन्न हैं! अनुमान नहीं लगाया क्यों? हाँ! यह इस बारे में है पहला सदस्य!यह वह है, जैसा कि वे कहते हैं, जो संगीत का आदेश देता है।) अपने लिए देखें।

पहले मामले में, प्रगति का पहला पद सकारात्मक(+1) और, इसलिए, बाद के सभी पदों को से गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मकभाजक क्यू = +2 , भी करुंगा सकारात्मक।

लेकिन दूसरे मामले में, पहला कार्यकाल नकारात्मक(-एक)। इसलिए, प्रगति के बाद के सभी सदस्यों को से गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मक क्यू = +2 , भी प्राप्त होगा नकारात्मक।"माइनस" से "प्लस" के लिए हमेशा "माइनस" देता है, हाँ।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक अंकगणितीय प्रगति के विपरीत, एक ज्यामितीय प्रगति पूरी तरह से अलग तरीके से व्यवहार कर सकती है, न केवल निर्भर करता है हर सेक्यू, लेकिन यह भी निर्भर करता है पहले सदस्य से, हाँ।)

याद रखें: ज्यामितीय प्रगति का व्यवहार विशिष्ट रूप से उसके पहले सदस्य द्वारा निर्धारित किया जाता है बी 1 और हरक्यू .

और अब हम कम परिचित, लेकिन बहुत अधिक दिलचस्प मामलों का विश्लेषण शुरू करते हैं!

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अनुक्रम लें:

(बी नहीं): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

यह क्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है! इस प्रगति के प्रत्येक सदस्य को भी प्राप्त होता है गुणापिछले शब्द, उसी संख्या से। केवल संख्या है भिन्नात्मक: क्यू = +1/2 . या +0,5 . और (महत्वपूर्ण!) संख्या, छोटा वाला:क्यू = 1/2<1.

इस ज्यामितीय प्रगति के बारे में क्या दिलचस्प है? इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? आइए देखते हैं:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

यहाँ क्या दिलचस्प है? सबसे पहले, प्रगति के सदस्यों में कमी तुरंत हड़ताली है: इसके प्रत्येक सदस्य कमपिछले बिल्कुल 2 बार।या, एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक पद अधिकपिछला 1/2 बार, इसलिये प्रगति भाजक क्यू = 1/2 . और एक से कम धनात्मक संख्या से गुणा करने पर, परिणाम आमतौर पर घट जाता है, हाँ ...

क्या अभी तकइस प्रगति के व्यवहार में देखा जा सकता है? क्या इसके सदस्य गायब हो जाते हैं? असीमित, माइनस इनफिनिटी में जा रहे हैं? नहीं! वे एक विशेष तरीके से गायब हो जाते हैं। पहले तो वे काफी तेजी से घटते हैं, और फिर धीरे-धीरे अधिक से अधिक। और सभी रहते हुए सकारात्मक. यद्यपि बहुत, बहुत छोटा। और वे किस लिए प्रयास कर रहे हैं? अनुमान नहीं लगाया? हाँ! वे शून्य हो जाते हैं!) और, ध्यान दें, हमारी प्रगति के सदस्य कभी नहीं पहुंचें!सिर्फ़ असीम रूप से उसके करीब. बहुत जरुरी है।)

ऐसी ही स्थिति ऐसी प्रगति में होगी:

(बी नहीं): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

यहां बी 1 = -1 , एक क्यू = 1/2 . सब कुछ वैसा ही है, अब सदस्य दूसरी तरफ से, नीचे से जीरो के पास पहुंचेंगे। हर समय रहना नकारात्मक.)

ऐसी ज्यामितीय प्रगति, जिसके सदस्य अनिश्चित काल के लिए शून्य के करीब पहुंचना।(इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, सकारात्मक या नकारात्मक पक्ष पर), गणित में इसका एक विशेष नाम है - असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।यह प्रगति इतनी दिलचस्प और असामान्य है कि यह भी होगा अलग पाठ .)

इसलिए, हमने हर संभव पर विचार किया है सकारात्मकभाजक बड़े और छोटे दोनों होते हैं। हम ऊपर बताए गए कारणों के लिए खुद को एक भाजक के रूप में नहीं मानते हैं (उदाहरण याद रखें कि त्रिगुणों के अनुक्रम के साथ ...)

संक्षेप में:

सकारात्मकतथा एक से अधिक (क्यू> 1), फिर प्रगति के सदस्य:

एक) अनिश्चित काल के लिए वृद्धि (यदि .)बी 1 >0);

बी) अनिश्चित काल के लिए कमी (यदि .)बी 1 <0).

यदि एक ज्यामितीय प्रगति का हर सकारात्मक तथा एक से कम (0< क्यू<1), то члены прогрессии:

ए) असीम रूप से शून्य के करीब के ऊपर(यदिबी 1 >0);

बी) असीम रूप से शून्य के करीब नीचे से(यदिबी 1 <0).

मामले पर विचार करना अभी बाकी है नकारात्मक भाजक।

भाजक ऋणात्मक है ( क्यू <0)

हम एक उदाहरण के लिए बहुत दूर नहीं जाएंगे। क्यों, वास्तव में, झबरा दादी?!) उदाहरण के लिए, प्रगति के पहले सदस्य होने दें बी 1 = 1 , और हर लें क्यू = -2.

हमें निम्नलिखित अनुक्रम मिलता है:

(बी नहीं): 1, -2, 4, -8, 16, …

और इसी तरह।) प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य एक ऋणात्मक संख्या-2। इस मामले में, विषम स्थानों (पहले, तीसरे, पांचवें, आदि) में सभी सदस्य होंगे सकारात्मक, और सम स्थानों में (दूसरा, चौथा, आदि) - नकारात्मक।संकेत सख्ती से अंतःस्थापित हैं। प्लस-माइनस-प्लस-माइनस ... ऐसी ज्यामितीय प्रगति कहलाती है - बारी-बारी से बढ़ते संकेत।

इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? और कहीं नहीं।) हाँ, निरपेक्ष मूल्य में (यानी मोडुलो)हमारी प्रगति की शर्तें अनिश्चित काल तक बढ़ती हैं (इसलिए नाम "बढ़ रहा")। लेकिन साथ ही, प्रगति का प्रत्येक सदस्य बारी-बारी से इसे गर्मी में, फिर ठंड में फेंक देता है। या तो प्लस या माइनस। हमारी प्रगति में उतार-चढ़ाव होता है... इसके अलावा, उतार-चढ़ाव की सीमा हर कदम के साथ तेजी से बढ़ती है, हां।) इसलिए, प्रगति के सदस्यों की आकांक्षाएं कहीं जाने के लिए विशेष रूप सेयहां ना।न तो प्लस इनफिनिटी, न माइनस इनफिनिटी, न जीरो - कहीं नहीं।

अब शून्य और ऋण एक के बीच कुछ भिन्नात्मक हर पर विचार करें।

उदाहरण के लिए, इसे रहने दें बी 1 = 1 , एक क्यू = -1/2.

तब हमें प्रगति मिलती है:

(बी नहीं): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

और फिर से हमारे पास संकेतों का एक विकल्प है! लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां पहले से ही शून्य के करीब आने की स्पष्ट प्रवृत्ति है।) केवल इस बार हमारे शब्द शून्य से ऊपर या नीचे से नहीं, बल्कि फिर से शून्य पर पहुंचते हैं। झिझक. वैकल्पिक रूप से या तो सकारात्मक या नकारात्मक मान लेना। लेकिन साथ ही वे मॉड्यूलपोषित शून्य के करीब और करीब आ रहे हैं।)

इस ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है अपरिमित रूप से घटते प्रत्यावर्ती चिन्ह।

ये दो उदाहरण दिलचस्प क्यों हैं? और तथ्य यह है कि दोनों मामलों में होता है बारी-बारी से वर्ण!ऐसी चिप केवल एक नकारात्मक हर के साथ प्रगति के लिए विशिष्ट है, हाँ।) इसलिए, यदि किसी कार्य में आप वैकल्पिक सदस्यों के साथ एक ज्यामितीय प्रगति देखते हैं, तो आप पहले से ही दृढ़ता से जान लेंगे कि इसका हर 100% नकारात्मक है और आपसे गलती नहीं होगी चिन्ह में।)

वैसे, ऋणात्मक हर के मामले में, पहले पद का चिन्ह स्वयं प्रगति के व्यवहार को बिल्कुल भी प्रभावित नहीं करता है। प्रगति के पहले सदस्य का चिन्ह जो भी हो, किसी भी स्थिति में सदस्यों के प्रत्यावर्तन का चिन्ह देखा जाएगा। पूरा सवाल बस किन जगहों पर(सम या विषम) विशिष्ट चिन्ह वाले सदस्य होंगे।

याद है:

यदि एक ज्यामितीय प्रगति का हर नकारात्मक , तो प्रगति की शर्तों के संकेत हमेशा होते हैं एकांतर।

उसी समय, सदस्य स्वयं:

ए) अनिश्चित काल के लिए वृद्धिसापेक्ष, यदिक्यू<-1;

बी) अनंत तक शून्य पहुंचें यदि -1< क्यू<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

बस इतना ही। सभी विशिष्ट मामलों का विश्लेषण किया जाता है।)

ज्यामितीय प्रगति के विभिन्न उदाहरणों को पार्स करने की प्रक्रिया में, मैंने समय-समय पर शब्दों का प्रयोग किया: "शून्य हो जाता है", "प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है", शून्य से अनंत की ओर जाता है... यह ठीक है।) ये भाषण मोड़ (और विशिष्ट उदाहरण) केवल एक प्रारंभिक परिचित हैं व्‍यवहारविभिन्न संख्या क्रम। एक ज्यामितीय प्रगति का एक उदाहरण।

हमें प्रगति व्यवहार को जानने की भी आवश्यकता क्यों है? वह कहाँ जाती है इससे क्या फर्क पड़ता है? शून्य से, अनंत तक, शून्य से अनंत तक ... हमें इसकी क्या परवाह है?

बात यह है कि पहले से ही विश्वविद्यालय में, उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, आपको विभिन्न संख्यात्मक अनुक्रमों के साथ काम करने की क्षमता की आवश्यकता होगी (किसी के साथ, केवल प्रगति नहीं!) और यह कल्पना करने की क्षमता कि यह या वह क्रम कैसा व्यवहार करता है - चाहे वह असीमित बढ़े, चाहे वह घटे, चाहे वह एक विशिष्ट संख्या (और जरूरी नहीं कि शून्य हो) की ओर बढ़े, या यहां तक ​​कि कुछ भी करने की प्रवृत्ति न हो ... गणितीय पाठ्यक्रम में इस विषय के लिए एक पूरा खंड समर्पित है विश्लेषण - सीमा सिद्धांत।थोड़ा और विशेष रूप से, अवधारणा संख्या अनुक्रम की सीमा।बहुत ही रोचक विषय! कॉलेज जाना और इसका पता लगाना समझ में आता है।)

इस खंड के कुछ उदाहरण (अनुक्रम जिनकी एक सीमा होती है) और विशेष रूप से, अपरिमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगतिस्कूल में सीखना शुरू करें। इस्तेमाल किया जा रहा है।)

इसके अलावा, भविष्य में अनुक्रमों के व्यवहार का अच्छी तरह से अध्ययन करने की क्षमता हाथों में बहुत काम आएगी और इसमें बहुत उपयोगी होगी समारोह अनुसंधान।सबसे विविध। लेकिन कार्यों के साथ सक्षम रूप से काम करने की क्षमता (डेरिवेटिव की गणना करें, उन्हें पूरी तरह से एक्सप्लोर करें, उनके ग्राफ बनाएं) पहले से ही आपके गणितीय स्तर को नाटकीय रूप से बढ़ा देता है! शक? कोई ज़रुरत नहीं है। मेरे शब्द भी याद रखें।)

आइए जीवन में एक ज्यामितीय प्रगति को देखें?

हमारे आस-पास के जीवन में, हम बहुत बार, घातीय प्रगति का सामना करते हैं। इसे जाने बिना भी।)

उदाहरण के लिए, विभिन्न सूक्ष्मजीव जो हमें हर जगह भारी मात्रा में घेरते हैं और जिन्हें हम माइक्रोस्कोप के बिना भी नहीं देखते हैं, ज्यामितीय प्रगति में सटीक रूप से गुणा करते हैं।

मान लीजिए कि एक जीवाणु आधे में विभाजित होकर प्रजनन करता है, 2 जीवाणुओं में संतान देता है। बदले में, उनमें से प्रत्येक, गुणा करते हुए, आधे में भी विभाजित होता है, जिससे 4 जीवाणुओं की एक सामान्य संतान होती है। अगली पीढ़ी 8 बैक्टीरिया देगी, फिर 16 बैक्टीरिया, 32, 64 और इसी तरह। प्रत्येक क्रमिक पीढ़ी के साथ, जीवाणुओं की संख्या दोगुनी हो जाती है। ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट उदाहरण।)

इसके अलावा, कुछ कीड़े - एफिड्स, मक्खियों - तेजी से गुणा करते हैं। और खरगोश कभी-कभी, वैसे भी।)

एक ज्यामितीय प्रगति का एक और उदाहरण, जो रोजमर्रा की जिंदगी के करीब है, तथाकथित है चक्रवृद्धि ब्याज।ऐसी दिलचस्प घटना अक्सर बैंक जमा में पाई जाती है और इसे कहा जाता है ब्याज पूंजीकरण।यह क्या है?

आप स्वयं अभी भी निश्चित रूप से युवा हैं। आप स्कूल में पढ़ते हैं, आप बैंकों में आवेदन नहीं करते हैं। लेकिन आपके माता-पिता वयस्क और स्वतंत्र लोग हैं। वे काम पर जाते हैं, अपनी दैनिक रोटी के लिए पैसा कमाते हैं, और कुछ पैसे बैंक में डालते हैं, बचत करते हैं।)

मान लीजिए कि आपके पिताजी तुर्की में एक परिवार की छुट्टी के लिए एक निश्चित राशि बचाना चाहते हैं और तीन साल की अवधि के लिए 10% प्रति वर्ष बैंक में 50,000 रूबल डालते हैं। वार्षिक ब्याज पूंजीकरण के साथ।इसके अलावा, इस पूरी अवधि के दौरान जमा राशि के साथ कुछ भी नहीं किया जा सकता है। आप न तो जमा की भरपाई कर सकते हैं और न ही खाते से पैसे निकाल सकते हैं। इन तीन वर्षों में उसे क्या लाभ होगा?

ठीक है, सबसे पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि 10% प्रति वर्ष क्या है। इसका मतलब है कि एक साल में 10% बैंक द्वारा प्रारंभिक जमा राशि में जोड़ा जाएगा। किस्से? बेशक, से प्रारंभिक जमा राशि।

एक वर्ष में खाते की राशि की गणना करें। यदि जमा की प्रारंभिक राशि 50,000 रूबल (यानी 100%) थी, तो एक वर्ष में खाते पर कितना ब्याज होगा? यह सही है, 110%! 50,000 रूबल से।

इसलिए हम 50,000 रूबल का 110% मानते हैं:

50,000 1.1 \u003d 55,000 रूबल।

मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि मूल्य का 110% खोजने का अर्थ है इस मान को 1.1 से गुणा करना? अगर आपको समझ में नहीं आ रहा है कि ऐसा क्यों है, तो पांचवीं और छठी कक्षा को याद करें। यानी - भिन्नों और भागों के साथ प्रतिशत का संबंध।)

इस प्रकार, पहले वर्ष की वृद्धि 5000 रूबल होगी।

दो साल बाद खाते में कितना पैसा आएगा? 60,000 रूबल? दुर्भाग्य से (या बल्कि, सौभाग्य से), यह इतना आसान नहीं है। ब्याज पूंजीकरण की पूरी चाल यह है कि प्रत्येक नए ब्याज के साथ, उसी ब्याज पर पहले से ही विचार किया जाएगा नई राशि से!जिससे पहले से हीखाते में है वर्तमान में।और पिछली अवधि के लिए अर्जित ब्याज जमा की प्रारंभिक राशि में जोड़ा जाता है और इस प्रकार, वे स्वयं नए ब्याज की गणना में भाग लेते हैं! यानी वे कुल खाते का पूरा हिस्सा बन जाते हैं। या सामान्य राजधानी।इसके कारण नाम - ब्याज पूंजीकरण।

यह अर्थव्यवस्था में है। और गणित में ऐसे प्रतिशत कहलाते हैं चक्रवृद्धि ब्याज।या प्रतिशत का प्रतिशत।) उनकी चाल यह है कि अनुक्रमिक गणना में, प्रतिशत की गणना हर बार की जाती है नए मूल्य से।मूल से नहीं...

इसलिए, के माध्यम से राशि की गणना करने के लिए दो साल, हमें उस राशि के 110% की गणना करने की आवश्यकता है जो खाते में होगी एक साल में।यानी पहले से ही 55,000 रूबल से।

हम 55,000 रूबल में से 110% पर विचार करते हैं:

55000 1.1 \u003d 60500 रूबल।

इसका मतलब है कि दूसरे वर्ष के लिए प्रतिशत वृद्धि पहले से ही 5,500 रूबल होगी, और दो साल के लिए - 10,500 रूबल।

अब आप पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं कि तीन साल में खाते में राशि 60,500 रूबल का 110% होगी। वह फिर से 110% है पिछले (पिछले साल) सेराशियाँ।

यहाँ हम विचार करते हैं:

60500 1.1 \u003d 66550 रूबल।

और अब हम अपनी मौद्रिक राशि को वर्षों के क्रम में बनाते हैं:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

तो यह कैसे होता है? ज्यामितीय प्रगति क्यों नहीं? पहला सदस्य बी 1 = 50000 , और भाजक क्यू = 1,1 . प्रत्येक पद पिछले एक की तुलना में सख्ती से 1.1 गुना अधिक है। सब कुछ परिभाषा के अनुसार सख्त है।)

और आपके पिताजी कितने अतिरिक्त प्रतिशत बोनस "गिरेंगे" जबकि उनके 50,000 रूबल तीन साल के लिए बैंक खाते में थे?

हमें यकीन है:

66550 - 50000 = 16550 रूबल

बेशक, यह बुरा है। लेकिन यह तब है जब योगदान की प्रारंभिक राशि छोटी है। क्या होगा अगर और भी है? कहो, 50 नहीं, बल्कि 200 हजार रूबल? फिर तीन साल की वृद्धि पहले से ही 66,200 रूबल (यदि आप गिनती करते हैं) होगी। जो पहले से ही बहुत अच्छा है।) और यदि योगदान और भी अधिक है? यह वही है...

निष्कर्ष: प्रारंभिक योगदान जितना अधिक होगा, ब्याज पूंजीकरण उतना ही अधिक लाभदायक होगा। इसीलिए बैंकों द्वारा लंबी अवधि के लिए ब्याज पूंजीकरण के साथ जमा राशि प्रदान की जाती है। बता दें कि पांच साल।

इसके अलावा, इन्फ्लूएंजा, खसरा और उससे भी अधिक भयानक बीमारियों (2000 के दशक की शुरुआत में एक ही सार्स या मध्य युग में प्लेग) जैसी सभी तरह की बुरी बीमारियां तेजी से फैलना पसंद करती हैं। इसलिए महामारी का पैमाना, हाँ ...) और सभी इस तथ्य के कारण कि एक ज्यामितीय प्रगति के साथ संपूर्ण सकारात्मक भाजक (क्यू>1) - एक चीज जो बहुत तेजी से बढ़ती है! बैक्टीरिया के प्रजनन को याद रखें: एक जीवाणु से दो प्राप्त होते हैं, दो से चार, चार से आठ, और इसी तरह ... किसी भी संक्रमण के फैलने के साथ, सब कुछ समान होता है।)

ज्यामितीय प्रगति में सबसे सरल समस्याएं।

आइए, हमेशा की तरह, एक साधारण समस्या से शुरू करते हैं। विशुद्ध रूप से अर्थ को समझने के लिए।

1. यह ज्ञात है कि ज्यामितीय प्रगति का दूसरा पद 6 है, और हर -0.5 है। पहला, तीसरा और चौथा पद ज्ञात कीजिए।

तो हमें दिया गया है अनंतज्यामितीय प्रगति, प्रसिद्ध दूसरा सदस्ययह प्रगति:

बी2 = 6

इसके अलावा, हम यह भी जानते हैं प्रगति भाजक:

क्यू = -0.5

और आपको खोजने की जरूरत है पहला, तीसरातथा चौथीइस प्रगति के सदस्य।

यहां हम अभिनय कर रहे हैं। हम समस्या की स्थिति के अनुसार क्रम लिखते हैं। सीधे सामान्य शब्दों में, जहां दूसरा सदस्य छह है:

बी1,6,बी 3 , बी 4 , …

चलिए अब खोज शुरू करते हैं। हम हमेशा की तरह, सबसे सरल से शुरू करते हैं। आप गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, तीसरा पद ख 3? कर सकना! हम पहले से ही जानते हैं (सीधे एक ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में) कि तीसरा पद (बी 3)एक सेकंड से अधिक (बी 2 ) में "क्यू"एक बार!

तो हम लिखते हैं:

बी 3 =बी 2 · क्यू

हम इस व्यंजक में के स्थान पर छ: को प्रतिस्थापित करते हैं बी 2और -0.5 इसके बजाय क्यूऔर हम सोचते हैं। और माइनस को भी नजरअंदाज नहीं किया जाता है, बिल्कुल ...

बी 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3

इस प्रकार सं. तीसरा कार्यकाल नकारात्मक निकला। कोई आश्चर्य नहीं: हमारा भाजक क्यू- नकारात्मक। और प्लस को माइनस से गुणा करने पर, यह निश्चित रूप से माइनस होगा।)

अब हम प्रगति के अगले, चौथे पद पर विचार करते हैं:

बी 4 =बी 3 · क्यू

बी 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5

चौथा कार्यकाल फिर से एक प्लस के साथ है। पाँचवाँ पद फिर से माइनस के साथ होगा, छठा प्लस के साथ, और इसी तरह। संकेत - वैकल्पिक!

तो, तीसरे और चौथे सदस्य मिल गए। परिणाम निम्नलिखित अनुक्रम है:

बी1; 6; -3; 1.5; …

पहला पद ज्ञात करना अभी बाकी है ख 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार। ऐसा करने के लिए, हम दूसरी दिशा में बाईं ओर कदम रखते हैं। इसका मतलब यह है कि इस मामले में, हमें प्रगति के दूसरे पद को हर से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन शेयर करना।

हम विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

बस इतना ही।) समस्या का उत्तर इस प्रकार होगा:

-12; 6; -3; 1,5; …

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सिद्धांत में जैसा ही है। हम जानते है कोईसदस्य और भाजकज्यामितीय प्रगति - हम कोई अन्य शब्द पा सकते हैं। हम जो चाहते हैं, हम एक पाएंगे।) अंतर केवल इतना है कि जोड़ / घटाव को गुणा / भाग से बदल दिया जाता है।

याद रखें: यदि हम ज्यामितीय प्रगति के कम से कम एक सदस्य और हर को जानते हैं, तो हम हमेशा इस प्रगति के किसी अन्य सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

निम्नलिखित कार्य, परंपरा के अनुसार, OGE के वास्तविक संस्करण से है:

2.

…; 150; एक्स; 6; 1.2; …

तो यह कैसे होता है? इस बार कोई पहला पद नहीं है, कोई हर नहीं है क्यू, बस संख्याओं का एक क्रम दिया गया है ... पहले से ही कुछ जाना-पहचाना है, है ना? हाँ! इसी तरह की समस्या को अंकगणितीय प्रगति में पहले ही निपटाया जा चुका है!

यहां हम डरते नहीं हैं। सब एक जैसे। अपने सिर को चालू करें और ज्यामितीय प्रगति का प्राथमिक अर्थ याद रखें। हम अपने अनुक्रम को ध्यान से देखते हैं और यह पता लगाते हैं कि इसमें तीन मुख्य (प्रथम सदस्य, हर, सदस्य संख्या) की ज्यामितीय प्रगति के कौन से पैरामीटर छिपे हुए हैं।

सदस्य संख्या? कोई सदस्य संख्या नहीं है, हाँ ... लेकिन चार हैं क्रमिकसंख्याएं। इस शब्द का क्या अर्थ है, मुझे इस स्तर पर समझाने का कोई मतलब नहीं दिखता।) क्या दो हैं पड़ोसी ज्ञात संख्याएँ?वहाँ है! ये 6 और 1.2 हैं। तो हम पा सकते हैं प्रगति भाजक।तो हम संख्या 1.2 लेते हैं और विभाजित करते हैं पिछली संख्या तक।छह के लिए।

हम पाते हैं:

हम पाते हैं:

एक्स= 150 0.2 = 30

उत्तर: एक्स = 30 .

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है। मुख्य कठिनाई केवल गणनाओं में है। ऋणात्मक और भिन्नात्मक हरों के मामले में यह विशेष रूप से कठिन है। तो जिन्हें समस्या है, वे अंकगणित को दोहराएं! भिन्नों के साथ कैसे कार्य करें, ऋणात्मक संख्याओं के साथ कैसे कार्य करें, इत्यादि... अन्यथा, आप यहाँ निर्दयतापूर्वक धीमा कर देंगे।

अब समस्या को थोड़ा बदल देते हैं। अब यह दिलचस्प हो जाएगा! चलिए इसमें लास्ट नंबर 1.2 हटाते हैं। आइए अब इस समस्या को हल करें:

3. एक ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार शब्द लिखे गए हैं:

…; 150; एक्स; 6; …

अक्षर x द्वारा निरूपित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

सब कुछ वैसा ही, बस दो पडोसी प्रसिद्धअब हमारे पास प्रगति के सदस्य नहीं हैं। यह मुख्य समस्या है। क्योंकि परिमाण क्यूदो पड़ोसी शब्दों के माध्यम से, हम पहले से ही आसानी से निर्धारित कर सकते हैं हम नहीं कर सकते।क्या हमारे पास चुनौती का सामना करने का मौका है? बेशक!

आइए अज्ञात शब्द लिखें " एक्स"सीधे एक ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में! सामान्य शब्दों में।

हाँ हाँ! सीधे एक अज्ञात भाजक के साथ!

एक ओर, x के लिए हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

एक्स= 150क्यू

दूसरी ओर, हमें उसी X को के माध्यम से पेंट करने का पूरा अधिकार है अगलासदस्य, छह के माध्यम से! हर द्वारा छह को विभाजित करें।

ऐशे ही:

एक्स = 6/ क्यू

जाहिर है, अब हम इन दोनों अनुपातों की बराबरी कर सकते हैं। चूंकि हम व्यक्त कर रहे हैं वहीमान (एक्स), लेकिन दो विभिन्न तरीके।

हमें समीकरण मिलता है:

सब कुछ गुणा करके क्यू, सरलीकृत करना, कम करना, हमें समीकरण मिलता है:

क्यू 2 \u003d 1/25

हम हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

क्यू = ± 1/5 = ± 0.2

उफ़! भाजक दुगना है! +0.2 और -0.2। और कौन सा चुनना है? गतिरोध?

शांत! हाँ, समस्या वास्तव में है दो समाधान!कुछ गलत नहीं है उसके साथ। ऐसा होता है।) आपको आश्चर्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, आप सामान्य को हल करके दो जड़ें प्राप्त करते हैं? यहाँ भी यही कहानी है।)

के लिये क्यू = +0.2हम प्राप्त कर लेंगे:

एक्स \u003d 150 0.2 \u003d 30

और के लिए क्यू = -0,2 होगा:

एक्स = 150 (-0.2) = -30

हमें दोहरा उत्तर मिलता है: एक्स = 30; एक्स = -30.

इस दिलचस्प तथ्य का क्या अर्थ है? और क्या मौजूद है दो प्रगति, समस्या की स्थिति को संतुष्ट!

इन की तरह:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

दोनों उपयुक्त हैं।) आप क्या सोचते हैं कि उत्तरों के विभाजन का कारण क्या है? सिर्फ छह के बाद आने वाले प्रगति (1,2) के एक विशिष्ट सदस्य के उन्मूलन के कारण। और ज्यामितीय प्रगति के केवल पिछले (n-1)-वें और बाद के (n+1)-वें सदस्यों को जानने के बाद, हम उनके बीच खड़े n-वें सदस्य के बारे में स्पष्ट रूप से कुछ नहीं कह सकते। दो विकल्प हैं - प्लस और माइनस।

लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता। एक नियम के रूप में, ज्यामितीय प्रगति के कार्यों में अतिरिक्त जानकारी होती है जो एक स्पष्ट उत्तर देती है। आइए शब्दों को कहें: "साइन-वैकल्पिक प्रगति"या "एक सकारात्मक भाजक के साथ प्रगति"और इसी तरह... इन शब्दों को एक सुराग के रूप में काम करना चाहिए, जो अंतिम उत्तर देते समय, प्लस या माइनस के चिह्न को चुना जाना चाहिए। यदि ऐसी कोई जानकारी नहीं है, तो - हाँ, कार्य होगा दो समाधान।)

और अब हम खुद फैसला करते हैं।

4. निर्धारित करें कि क्या संख्या 20 एक ज्यामितीय प्रगति का सदस्य होगा:

4 ; 6; 9; …

5. एक प्रत्यावर्ती ज्यामितीय प्रगति दी गई है:

…; 5; एक्स ; 45; …

पत्र द्वारा इंगित प्रगति की अवधि खोजें एक्स .

6. गुणोत्तर श्रेणी का चौथा धनात्मक पद ज्ञात कीजिए:

625; -250; 100; …

7. गुणोत्तर श्रेणी का दूसरा पद -360 है, और इसका पाँचवाँ पद 23.04 है। इस प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर (अव्यवस्था में): -15; 900; नहीं; 2.56.

बधाई हो अगर सब कुछ काम कर गया!

कुछ फिट नहीं है? क्या कहीं दोहरा जवाब है? हम असाइनमेंट की शर्तों को ध्यान से पढ़ते हैं!

आखिरी पहेली काम नहीं करती? वहाँ कुछ भी जटिल नहीं है।) हम एक ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के अनुसार सीधे काम करते हैं। खैर, आप एक चित्र बना सकते हैं। यह मदद करता है।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ प्राथमिक है। यदि प्रगति कम है। क्या होगा अगर यह लंबा है? या वांछित सदस्य की संख्या बहुत बड़ी है? मैं चाहता हूं, एक अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप, किसी भी तरह एक सुविधाजनक सूत्र प्राप्त करें जो इसे ढूंढना आसान बनाता है कोईकिसी भी ज्यामितीय प्रगति का सदस्य उसके नंबर से।कई गुणा किए बिना, कई बार क्यू. और ऐसा एक सूत्र है!) विवरण - अगले पाठ में।